2012年云南大理南涧民中高考模拟试题理科(五).doc

2012年云南省大理南涧民中高考模拟试题理科(五)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上).
1. 设复数满足(为虚数单位)，则=( )
A. B. C. D.
1. 【答案】B
【命题意图】本题考查复数运算、复数相等的知识的考查.
【解析】或用复数相等解答.
2. 若空集，其中，则实数取值集合( )
A. B. C. D.
【答案】C
【命题意图】本题考查空集是非空集合的真子集，用数形结合方法处理一元二次不等式解讨论.
【解析】有实解，，∴
3. 设为等比数列，其中是方程两实根，则=( )
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】D
【命题意图】本题考查等比数列的基本特征，一元二次方程根与系数关系.
【解析】∵又∵同号，∴
4. 如图，一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )
A. B.
A
O
B
C
C. D. 1
【答案】A
【命题立意】考查三视图基本知识和空间想象能力.
【解析】该几何体的空间图形为正三棱锥O—ABC(如图)
且OA、OB、OC两两相互垂直，长度均为1，
∴.
5. 若正实数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 【答案】B
【命题意图】本题考查基本不等式应用.
【解析】
∴
当时取等号.
6. 设函数，则=( )
A. 0.5 B. 1.5 C. 2 D. 2.5
【答案】A
【命题意图】本题考查分段函数、周期函数定义.
【解析】
7. 若方程根，则整数=( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【命题意图】本题考查函数零点的分布，数形结合思想.
【解析】由图象可知，
又令

∴，故.
8. ，则=( )
A. B. C. D.
【答案B
【命题意图】本题考查函数定义域、值域结合的运算.
【解析】 ∴
9. 过点作曲线的切线，则切线，轴及曲线所围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. 4 D. 6
【答案】B
【命题立意】本题考查用导数求切线和定积分计算曲边图形的面积.
【解题思路】∵
∴ ∴
令得，令得
∴

10. 执行右边程序框图，输出=( )
A. 10 B. 20
C. 30 D. 40
【答案】C
11. 用三种颜色随机取一种涂矩形(一个矩形只涂一色)，那么相邻矩形
1 2 3
涂不同色的概率为( )
A B. C. D.
【答案】B
【命题立意】本题考查古典概率，考查分类讨论思想.
【解析】分1，3涂同色，与1，3不同色两类

12. 设函数在R上有意义，对于给定的正数，定义函数，取函数，若对任意的恒有，则的最小值为( )
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【命题意图】本题考查新概念的理解、函数导数、单调性综合能力考查.
【解析】恒成立

当；当 ∴
∴ ∴
二、填空题
15. 长方体表面积为6，则它的外接球面积最小值为 .
【答案】
【命题意图】本题考查简单几何组合体，用不等式求最值方法.
【解析】长方体长、宽、高为a、b、c，则
∴
16. 已知函数的部分图象如图所示，分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为.点R的坐标为，则= .
16. 本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.
解：由题意得，.
因为在的图象上，所以.
又因为，所以.
∵ ∴.
连接PQ，在中，，由余弦定理得
，解得
又因为，所以.
∴
三、解答题：本大题共6小题，共90分.
17. (本题满分14分)
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

初一年级
初二年级
初三年级
女生
373

男生

377
370

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
⑴求的值；
⑵现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
⑶已知，求初三年级中学生比男生多的概率.
17. ⑴（名）；
⑵由题意和⑴可知，初一、初二年级各有学生750名，初三年级学生为2000-750-750=500（名），
故采用分层抽样方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取（名）.
⑶当，时，初三年级中男、女人数的所有可能组合为：
男生
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
女生
255
254
253
252
251
250
249
248
247
246
245
所有可能组合有11种，其中女生比男生多的组合有5种，故初三年级中女生比男生多的概率为.
18. 【解题思路】⑴由已知易得.
∵，∴.
即.
又∵平面，平面
∴，∵.
∴平面，∵平面，∴
⑵取AD的中点为F，连结BF，EF.
∵，∴，且，
∴四边形是平行四边形，即.
∵平面，∴平面.
∵E、F分别是PA、AD的中点，
∴，∵平面，
∴平面，∵，
∴平面平面.
∵平面，∴平面.
⑶由已知得，所以，
19. (本题满分16分)
如图，从点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与轴交于点.再从作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，记点的坐标为().
⑴试求与的关系；⑵求.

19. 【命题立意】本题主要考查函数的导数应用及等比数列等基础知识，同时考查考生的计算能力及综合运用知识分析问题、解决问题的能力和创新意识.
解：⑴设，由得点处切线方程为，
由得.
⑵由，得，所以，于是

.
18. (本题满分14分)
如图，已知是直角梯形，
.
⑴证明：；
⑵若是的中点，证明：平面；
⑶若，求三棱锥的体积.
20. (本题满分14分)
如图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程是.
⑴求该椭圆的标准方程；
⑵设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为.问：是否存在定点，使得与点到直线的距离之比为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.

20. 【解题思路】⑴由，解得，
故椭圆的标准方程为.
⑵设，则由得
，
即.
因为点M，N在椭圆上，所以
，
故

设分别为直线的斜率，由题设条件知，
因此，所以.
所以P点是椭圆上的点，
该椭圆的右焦点为，离心率，
直线是该椭圆的右准线，
故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得与点到直线的距离之比为定值.
21. (本题满分14分)
已知函数，它们的定义域是，其中是自然对数的底，.

⑴当时，求函数的最小值；
⑵当时，求证：对一切恒成立；
⑶是否存在实数，使得的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.
21. 【解题思路】⑴当时，.
∴，∴令，得.
列表：

∴当时，.
⑵由⑴知：当，有.
∵，∴
∴在区间上为增函数.
∴.
∴.
∴当时，.
∴对一切恒成立.
⑶假设存在实数，使的最小值是3，.
①当时，∵，∴.
∴，∴在上为减函数.
∴当时， ∴(舍)
②当时，若时，，在上为减函数.
若时，，在上为增函数.
∴当时，，∴.
∴假设成立，存在实数，使得的最小值是3.
22．已知中，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至.
⑴求证：的延长线平分；
⑵若，中边上的高为，求外接圆的面积.
22. ⑴如图，设F为AD延长线上一点.
∵A，B，C，D四点共圆，∴.
又，∴，
且，∴.
对顶角，故.
即的延长线平分.
⑵设为外接圆圆心，连接交于，则.
连接，由题意，
∴.
设圆半径为，则，得，外接圆面积为.
23. 已知直线与圆(为参数)，试判断它们的公共点个数.
【解析】圆的方程可化为，其圆心为，半径为2.
由于圆心到直线的距离，
故直线与圆的公共点个数为2.

24. 解不等式.
【解析】当时，原不等式可化为，解得.
又∵，∴不存在；
当时，原不等式可化为，解得.
又∵，∴；
当时，原不等式可化为，解得.
又∵，∴.
综上，原不等式的解集为.
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