高三文科数学039.doc

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期数： 0512 SXG3 039
学科：文科数学 年级：高三 编稿老师：李晓松
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇三十 高三文科数学总复习二十五
——平面向量的基本运算与坐标运算

【学法引导】
向量是重要的数学工具，在物理、数学和工程技术中具有广泛的应用，近几年高考主要考查向量的概念，基本运算，坐标运算和性质，一般为贴近教材，难度中等偏易的选择题、填空题.
【应用举例】
例1 给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则的四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b，b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；⑤若a//b，b//c，则a//c.
其中，正确命题的序号是___________.
分析：正确理解向量的概念是解题关键.
解：①不正确. 两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵, ∴且，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB//DC且AB=DC，因此，.
③正确. ∵a=b，∴a，b的长度相等且方向相同；又b=c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a=c.
④不正确.当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b. 故|a|=|b|且a//b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.
⑤不正确. 考虑b=0这种特殊情况.
【点拨解疑】
既有大小又有方向的量叫做向量，深入理解向量的概念应注意零迥量（记作O）单位向量，相等向量（长度相等且方向相同的向量）.平行向量（方向相同或相反的非零向量）、共线向量（即平行向量）的定义.
例2 如图，ABCD是梯形，AB//CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB中点，已知，，求和.
分析：本题要求用a,b表示及，而a，b不同线，由平面向量基本定理，此平面内任何向量都可用a，b惟一表示.
解：连接DN、NC，∵N为AB中点，而，
∴，又AB=2CD且AB//CD，
∴，
从而
在△ADN中：，
在△DMN中：，
在△MNC中：，
在△NBC中：，
综上所述：.
【点拨解疑】
正确理解向量加法、减法的几何意义是本例的关键，应熟记：

例3 （2001年天津高考题）若a=(1,1)，b=(1,－1)，c=(－1,2)，则c=( )
A． B．
C． D．
分析：设c=a+b，设法列出两个关于、的方程，解方程组即得.
解：由平面向量基本定理，由于a,b不共线，故存在、∈R，使得
c=a+b.
即：，
∴ 解得 故B正确.
【点拨解疑】
向量的坐标表示，即向量的代数表示，它将平面内的任何一个向量与一组有序实数对建立了一一对应关系，通过坐标表示，把数与形有机地结合在一起，从而使两个向量的关系（平行、垂直、夹角、距离等）通过数的计算解决.
下列重要公式是平面向量的坐标运算的依据，应熟记：
1．若则=；
2．；
3．
4．设a=,b=，则b//a(a≠0)
a⊥b(a≠0,b≠0);
5．点P分的比为(即)，则P(x,y)与之间有：
；
6．设a=,b=，则a·b=；
7．（1）设a=，则|a|=,
（2）设，则；
8．向量a=,b=之间的夹角满足；
9．点P(x，y)，按向量a=(h，k)平移到，则且.
例4 平面内A、B、C在一条直线上，，且，求实数m，n的值.
分析：因为A、B、C三点共线，可由向量共线的充要条件得到m、n的一个关系式，又因为，再由向量垂直的充要条件，可以得到m、n的第二个关系式，联立两式求解可得m、n的值.
解：∵A、B、C三点在一条直线上，∴向量与共线
而，
∴=(7,－1－m)，=(n+2,1－m)，
从而，
化简得：，
又，∴，
即：，化简得m=2n,
代入中得或，
综上所述，m=6，n=3或m=3，.
【点拨解疑】
两个向量平行、垂直的充要条件是列方程的关键，应熟练掌握.
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【强化训练】
一、选择题
1．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A．一条线段 B．一个圆面
C．圆上的一群孤立的点 D．一个圆
2．下列四个命题中正确的命题的个数是（ ）
（1）零向量是没有方向的向量
（2）零向量的方向是任意的
（3）零向量与任一向量共线
（4）零向量只能与零向量相等
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在平行四边形ABCD中，等于（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题假命题的个数为（ ）
（1）|a|+|b|=|a+b|a与b方向相同
（2）|a|+|b|=|a－b|a与b方向相反
（3）|a|+|b|=|a－b|a与b有相等的模
（4）|a|－|b|=|a－b|a与b方向相同
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
5．将下列各小题中的共线向量的序号填入题后的横线上（其中不共线）________.
（1）；
（2）；
（3）
6．设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则
①(a·b)c－(c·a)b=0;
②|a|－|b|＜|a－b|;
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a+2b)·(3a－2b)=9|a|2－4|b|2.
其中真命题是________.
三、解答题
7．对任意非零向量a,b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

参考答案
一、1．D 2．D 3．D 4．C
二、5．①② 6．②④
三、7．证明：分三种情况考虑：
（1）当a,b共线且方向相同时，
||a|－|b||＜|a+b|=|a|+|b|, ||a|－|b||＜|a|+|b|;
（2）当a,b共线且方向相反时，
∵a－b=a+(－b),a+b=a－(－b),利用（1）的结论，有
||a|－|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，||a|－|b||＜|a－b|＜|a|+|b|；
（3）当a,b不共线时，利用三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边得证.

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