1、板块一、相似三角形的判定及性质【例1】 （2007年北师大附中期末试题）如图，、是的边、上的点，且，求证：.【巩固】如图，在中，于，于，的面积是面积的4倍，求的长.【例2】 （重庆市中考题）如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接 （）.（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设是否存在这样的值，使得，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.【例3】 如图，已知梯形中，,(),交于点，连接.（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.【例4】 （厦门市中考题）中，正方形的两个顶点、在上，
2、另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.【例5】 （2007年北师大附中、2004年四川省乐山市中考试题）如图，已知中，点在上，与点、不重合，在上.（1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长；（2）当的面积与四边形的周长相等时，求的长；（3）试问：在上是否存在一点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要的说明理由；若存在，请求出的长.【巩固】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形和均为正方形，求_.【例6】 如图，在矩形中，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间 当为何值时，为等腰直角三角形？ 求四边形面积，提出一个与计算结
3、果相关的正确结论 当为何值时，以点为顶点的三角形与相似【巩固】如图：矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，且与的交点为点，求的面积。板块二、相似中的角平分线问题【例7】 如图，是的角平分线，求证：【变式1】已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：【变式2】已知条件同变式1，求证：【例8】 已知：、分别为的内、外角平分线，为的中点，求证：【巩固】已知：、分别为的内、外角平分线，求证：.【例9】 已知四边形，、分别为一组对边、的两点，若求证：、与成等角.【例10】 如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、. 证明：是定值； 求的最小值【巩固】在中，平分交于点，求证：板块三、
4、型结论的证明【例11】 （2002宁夏中考试题）如图，直角中，证明：，.【例12】 （2007年北师大附中试题）如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：.【巩固】（河南省初三数学竞赛题）如图，点在上，是的中点，于，点是的中点，连接。求证：。【巩固】（2001青岛市中考题）已知，如图正方形内接于，在斜边上，于。求证：（1）；（2）。【例13】 （据06淄博市中考题改编）已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：【巩固】上题中，将等边改为一般等腰三角形（），在不添加辅助线的条件下： 当与满足什么关系时，(括号里填图中已有线段) 证明你的结论【例14】 如图，等腰中，于，延长
5、交于，交于，求证：【例15】 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：【巩固】如上图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：平分板块四、三角形内接矩形问题【例16】 已知，如图，中，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长【变式1】 若将例题中正方形改为矩形，则矩形的边长为多少？（不需要计算结果，说说思路即可） 若例题中的三角形不是直角三角形，且，则正方形的边长为多少？【变式2】同例题图，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，求的面积【例17】 (2007年内江)如图，在中，动点 (与点，不重合)在边上，交于点 当的面积与四边形的面积相等时，求的长 当的周长与四边
6、形的周长相等时，求的长 试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长【习题1】 （2008年湖北省荆州市）如图，直角梯形中，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于已知，则的值为 （）A B C D 【习题2】 如图，在直角梯形中，对角线，垂足为，过的直线交于 ， 【习题3】 如图，在矩形中，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间 当为何值时，为等腰直角三角形？ 求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论 当为何值时，以点为顶点的三角形与相似【备选1】 如图，中，于为的中点，的延长线交于求证：【备选2】 如图，中，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？【备选3】 （07扬州）如图，矩形中，厘米，厘米（）动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米秒过作直线垂直于，分别交，于当点到达终点时，点也随之停止运动设运动时间为秒 若厘米，秒，则_厘米； 若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比； 若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围； 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形 的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由DQCPNBMADQCPNBMA
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