1、
高中数学经典解题技巧：平面向量
一、向量的有关概念及运算
解题技巧：向量的有关概念及运算要注意以下几点：
（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的，，令⊙，下面说法错误的是（ ）
A.若与共线，则⊙
2、 B. ⊙ ⊙
C.对任意的，有⊙ ⊙ D. (⊙)2
【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
【规范解答】选B，若与共线，则有⊙，故A正确；因为⊙ ,，而⊙，所以有⊙ ⊙ ，故选项B错误，故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.
2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性
二、与平面向量数量积
3、有关的问题
解题技巧：与平面向量数量积有关的问题
1．解决垂直问题：均为非零向量。这一条件不能忽视。
2．求长度问题：，特别地。
3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据
例2：1.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）在中，=90°AC=4，则等于（ ）
A、-16 B、-8 C、8 D、16
【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.
【思路点拨】由于=90，因此选向量CA，CB为基底.
【规范解答】选D .=(CB-CA)·(-CA)=-CB·C
4、A+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）.
2. （2010·广东高考文科·Ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)满足条件(8—)·=30，则x=( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】 先算出，再由向量的数量积列出方程，从而求出
【规范解答】选. ，所以
. 即
5、解得： ，故选.
三、向量与三角函数的综合
例3．在直角坐标系
（I）若；
（II）若向量共线，当
【解析】（1） …………2分
又
解得 ………………4分
或 …………6分
（II） ………………8分
…………10分
………………12分
注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。
例4．（2010·重庆高考理科·Ｔ2）已知向量，满足，则（ ）
A．0 B．
6、 C．4 D．8
【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据公式进行计算，或数形结合法，根据向量的
三角形法则、平行四边形法则求解.
【规范解答】选B （方法一）
；（方法二）数形结合法：由条件知，以向量
，为邻边的平行四边形为矩形，又因为，所以，
则是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为，如图所示.
【方法技巧】方法一：灵活应用公式，
方法二：熟记向量及向量和的三角形法则
例5．（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ8）△ABC中，点D在
边AB上，CD平分∠ACB，
7、若= ,
= , ， 则=（ ）
（A）+ （B） + （C）+ （D） +
【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。
【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD= CB:CA =1:2
这样可以用向量, 表示。
【规范解答】 选B，由题意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD=AB,所以++
+
【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则
例6．（2010·浙江高考文科·Ｔ13）已知平面向量则的值是 。
【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。
【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。
【规范解答】由题意可知，结合，解得，
所以2=，开方可知答案为.
【答案】
【方法技巧】（1）；（2）。
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