中考数学压轴试题的新走势3.doc

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中考数学专题探究-----面积问题
面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下，计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。但是，在中考压轴题中，有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量，并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合，以静求动。

考点一：面积的函数关系式问题
典型例题：
1、（2009年湖南衡阳）如图12，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．
（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；
（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？
（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．
B
x
y
M
C
D
O
A
图12（1）
B
x
y
O
A
图12（2）
B
x
y
O
A
图12（3）

解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）；
则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；
∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8
∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；
（2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4
∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0当时，；
如图10（3），当时，；
∴S与的函数的图象如下图所示：
0
2·
4·
·
2
·
4
S
的函数关系式并画出该函数的图象．

2、（2009宁夏）已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒．
（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；
C
P
Q
B
A
M
N
（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为．求四边形 的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

解：
（1）过点作，垂足为．
则，
当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，
即时，四边形是矩形，
秒时，四边形是矩形．
，

（2）当时，

C
P
Q
B
A
M
N

C
P
Q
B
A
M
N
当时

当时，
C
P
Q
B
A
M
N

3、（2010年辽宁丹东）
如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

解：（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC．
∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）
O
M
N
H
A
C
E
F
D
B
↑
→
－8
(－6，－4)
x
y

（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，
∵抛物线过点A（0，4），
∴．则抛物线关系式为．
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
解得
所求抛物线关系式为：．
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m．
∴
OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA

（ 0＜＜4）
∵． ∴当时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值．
（4）当时，GB=GF，当时，BE=BG．
4、如图所示，菱形的边长为6厘米，．从初始时刻开始，点、同时从点出发，点以1厘米/秒的速度沿的方向运动，点以2厘米/秒的速度沿的方向运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，设、运动的时间为秒时，与重叠部分的面积为平方厘米（这里规定：点和线段是面积为的三角形），解答下列问题：
（1）点、从出发到相遇所用时间是 秒；
（2）点、从开始运动到停止的过程中，当是等边三角形时的值是 秒；
P
Q
A
B
C
D
（第28题）
（3）求与之间的函数关系式．

解：（1）6．
（2）8．（3）①当0时，

Q1
A
B
C
D
Q2
P3
Q3
E
P2
P1
O

．
②当3时，

=
③当时，设与交于点．
(解法一)
过作则为等边三角形．

．
．
（解法二）
如右图，过点作于点，，于点
P3
O
A
B
C
D
Q3
G
H
F
过点作交延长线于点．

又

又

考点2、面积最值问题
典型例题：

1、（2008年广东广州）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米
（1）当t=4时，求S的值
（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值

图11

解．（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，
重合部分是＝
(2)当
QB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t
由∽∽
得
,
S＝
当t取5时，最大值为

当t取6时，有最大值
综上所述，最大值为

二、名题精练：
1、（2009湖南永州）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为点在轴上．已知某二次函数的图象经过、、三点，且它的对称轴为直线点为直线下方的二次函数图象上的一个动点（点与、不重合），过点作轴的平行线交于点
（1）求该二次函数的解析式；
x
y
B
F
O
A
C
P
x=1
（第25题）
（2）若设点的横坐标为用含的代数式表示线段的长．
（3）求面积的最大值，并求此时点的坐标．

解：（1）设二次函数的解析式为
，
由抛物线的对称性知点坐标为依题意得：
x
y
B
F
O
A
C
P
x=1
（第25题）
解得：
所求二次函数的解析式为
（2）点的横坐标为点的纵坐标为
设直线的解析式为依题意，得

故直线的解析式为
点的坐标为

（3）的面积
=
当时，的最大面积为
把代入得
点的坐标为
2、（2007年淮安）在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB，已知OA=2 ∠AOB=30°,D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒个单位长度的速度沿x轴的正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正方向运动，设D、E两点运动的时间为t秒。
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 。
（2）在点D、E运动的过程中，直线DE与直线OA垂直吗？请说明理
(3)当t在什么范围时，直线DE与线段OA有公共点？

（4）将直角三角形纸片AOB在直线DE下方的部分沿直线DE向上折叠，设折叠后重叠部分的面积为s，请写出s与t的函数关系式，并求出s的最大值。

4、（2009年湖北恩施）图12
E

D
B
C
A
B
C
A
如图12，在中，的面积为25，点为边上的任意一点（不与、重合），过点作，交于点．设，以为折线将翻折（使落在四边形所在的平面内），所得的与梯形重叠部分的面积记为．
（1）用表示的面积；
（2）求出时与的函数关系式；
（3）求出时与的函数关系式；
（4）当取何值时，的值最大？最大值是多少？

解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC ∴
即
(2)∵BC=10 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5
∴当0﹤ 时
（3）﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S△A'DE=S△ADE=
∴DE边上的高AH=AH'=
由已知求得AF=5
∴A'F=AA'-AF=x-5
由△A'MN∽△A'DE知

∴
（4）在函数中
∵0﹤x≤5
∴当x=5时y最大为：
在函数中
当时y最大为：
∵﹤
∴当时，y最大为：

11