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有关“卫星运动”的几个问题

卫星是人类探索宇宙奥秘的一个工具，也是人类通过高空探测认识地球、保护地球、开发空间的重要仪器．在航空航天技术不断开发的今天，学生在学习有关卫星知识时，总是探究性地提出一些有关卫星及航天仪器的运动问题，解答这些问题，是知识教学走出课堂、联系实际、体现素质教育的良好途径，也是激发学生积极学习的重要环节．
1 近地卫星运动与赤道上物体随地球自转运动的比较
    近地卫星指环绕地球表面附近做匀速圆周运动的航天器．由于距地面的高度远小于地球半径，因此，近似计算中总是把其运行轨道半径计为地球半径；赤道上的物体随地球自转的圆周运动半径等于地球半径，这就引起了对上述两类运动认识上的混淆．虽然它们都是半径近似等于或等于地球半径的圆周运动，但它们本质上的区别是向心力的提供来源，近地卫星的向心力由地球对卫星的万有引力提供，卫星运动中处于完全失重状态，故有
    ｍＲ（２π／Ｔ）２＝ｍｖ２／Ｒ＝ＧＭｍ／Ｒ２，
    所以，近地卫星的线速度为＝７．９ｋｍ／ｓ，周期Ｔ≈８５ｍｉｎ，向心加速度ａ≈ｇ＝９．８ｍ／ｓ２；赤道上随地球一同自转的物体的向心力仅由地球对物体万有引力的分力提供，但很小，万有引力的另一分力产生重力，且很大，一些估算中，近似认为ｍｇ＝ＧＭｍ／Ｒ２，所以，对赤道上物体的自转运动有
    ｍＲ（２π／Ｔ自）２＝ｍａ自＝ｍｖ自２／Ｒ．
图1
图2
    故有Ｔ自≈２３．９３ｈ，ａ自＝３．４×１０－２ｍ／ｓ２，ｖ自≈０．４７ｋｍ／ｓ．地球表面上不同纬度处的物体因自转轨道半径不同，导致自转的向心加速度和线速度都不同，两极处的物体已不再需要向心力，万有引力全部产生重力，故同一物体在两极处的重力大于在赤道处的重力；近地卫星的轨道，可以在赤道平面内，也可以不在赤道平面内，如极地卫星，但圆周运动的圆心一定是地球球心，如图1所示．
   2 同步卫星运动与赤道上物体随地球自转运动的比较
    同步卫星指定位于赤道上空一定高度上环绕地球做圆周运动的航天器，其运动周期和角速度都等于地球自转周期和角速度，所以相对地球静止不动，与地球运动同步．地球赤道上物体自转运动虽与同步卫星具有相同周期，但本质的区别仍是向心力的提供来源，同步卫星受到的万有引力全部提供其向心力，故同步轨道半径ｒ≈６Ｒ，ｖ＝３．１ｋｍ／ｓ，同 步轨道高度处的重力加速度ｇ同＝ａ同≈０．２５ｍ／ｓ２．物体可在地球表面不同纬度处随地球自转运动，但卫星同步轨道只能在赤道平面内确定的高度处．假如卫星处在如图2所示的轨道上，将因向心力没有指向地球中心而使万有引力产生“重力”，最终将使卫星移动在赤道平面内运动．
    3 卫星在转换轨道过程中机械能是否守恒？卫星速度减小，能自行进入半径更大的轨道吗？
    根据ＧＭｍ／ｒ２＝ｍｖ２／ｒ，有，即卫星做圆周运动的线速度与轨道半径是一一对应的，所以确定的圆轨道上运行的卫星其动能和引（重）力势能是确定的，不同圆轨道上运行的卫星的机械能是不同的，轨道半径增大，引力势能增大，动能减小，但引力势能增加比动能减小得多，因此机械能随半径增大而增大，所以卫星运转半径越大，发射所需能量越大，发射就越困难．因此，卫星转换轨道，一定是在外力作用下完成的．如高空运行的卫星受稀薄空气的影响，将损失一些机械能，如不及时补充和校正，将会从高轨道逐渐移向低轨道；如果要使轨道的半径增大，就得通过外力克服引力做功，使卫星机械能增加才能达到目的．所以，卫星运行的轨道半径改变了，其机械能一定改变．如果卫星速度减小了，将因动能减小引起机械能减小而落入对应的低轨道运行，绝不可能自行移到高轨道上去，因此判断卫星轨道的变化情况不能单纯以为依据，而应同时考虑能量情况．例如，在某一轨道上做圆周飞行的航天飞机，要想追上另一高轨道上圆周运行的航天器（如空间站），就需在低轨道加速，再向高轨道飞行，飞行过程中因加速增加的动能再逐渐转化成引力势能，使速度最终减小到对应高轨道上所需数值．
    4 ７．９ｋｍ／ｓ一定是卫星做匀速圆周运动允许的最小速度吗？
    根据ＧＭｍ／ｒ２＝ｍｖ２／ｒ知 ，当卫星距地面距离很小，即ｈ<<Ｒ时，可认为ｒ≈Ｒ，则
    ＝７．９ｋｍ／ｓ，
    所以７．９ｋｍ／ｓ是近地卫星做圆周运动的最小速度．若ｖ＜７．９ｋｍ／ｓ，卫星就会做一段抛体运动而落到地面上；又因，卫星线速度与运转半径的平方根成反比，即卫星做圆周运动的半径越大，其线速度就越小，比较可知，７．９ｋｍ／ｓ又是绕地球圆周运动的卫星能达到的最大速度，也就是说，卫星如果绕地球做圆周运动，其环绕线速度不会超过７．９ｋｍ／ｓ．当７．９ｋｍ／ｓ＜ｖ＜１１．２ｋｍ／ｓ，卫星将不再做圆周运动，而做以地球球心为焦点的椭圆运动，近地点处速度ｖ最大，远地点处速度小于ｖ，忽略空气阻力影响，从近地点到远地点，卫星动能减少，引力势能增加，机械能守恒，远、近地点的速度关系为（如图３所示）
    ＧＭｍ／ａ２＝ｍｖA２／ｒ，ＧＭｍ／ｂ２＝ｍｖB２／ｒ，
    即ｖA／ｖB＝ｂ／ａ．

图3      图4
    例如同步卫星的发射，先是将同步卫星送至近地轨道处运行，运行状态稳定后在近地轨道上适当的位置，通过自动装置启动卫星上发动机并调整方向，使卫星做椭圆轨道运动，椭圆轨道的远地点距地心距离等于同步轨道半径，到达同步轨道后再进行速度和方向的调整，就可使卫星进入同步轨道运行，如图4所示．
    由以上讨论可知，理解７．９ｋｍ／ｓ的物理内涵应注意前提条件，即卫星是近地卫星还是远地卫星，绕地球运行的形式是匀速圆周运动还是椭圆运动．