2015届北京市东城区示范校高三上学期综合能力测试理科数学试题及答案.doc

北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试
数学试卷（理科）

本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分。考试时长120分钟。
第I卷（选择题 共40分）

一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1. 设U=R，集合，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
2. 双曲线的焦距为
A. 6 B. 12 C. 36 D.
3. 设二项式的展开式中常数项为A，则A=
A. -6 B. -4 C. 4 D. 6
4. 如图所示的程序框图表示求算式“”之值，则判断框内不能填入

A. ？ B. C. ？ D. ？
5. 已知有唯一的零点，则实数的值为
A. 0 B. -1 C. -2 D. -3
6. 设为非零常数，则“与解集相同”是“”的
A. 既不充分也不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 充分而不必要条件
7. 设集合，集合，若，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.

第II卷（非选择题 共110分）

二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）
9. 复数的虚部为__________。
10. 已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是__________。

11. 如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD与⊙O相切，割线DM与⊙O相交于点M，N，若∠B=30°，AC=1，则DMDN=____________。

12. 某市电信宽带私人用户月收费标准如下表：假定每月初可以和电信部门约定上网方案。
方案
类别
基本费用
超时费用
甲
包月制
70元

乙
有限包月制（限60小时）
50元
0.05元/分钟（无上限）
丙
有限包月制（限30小时）
30元
0.05元/分钟（无上限）
若某用户每月上网时间为66小时，应选择__________方案最合算。
13. 数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为_______________。
14. 圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图装置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A与点P重合）沿圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路径的长度为____________。

三、解答题。（本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）
15. （本小题满分13分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，满足，
且。
（I）求C的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。
16. （本小题满分13分）
如图，四棱锥中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=2PA=2AB=2BC=2。

（I）求三棱锥的外接球的体积；
（II）求二面角与二面角的正弦值之比。
17. （本小题满分13分）
设集合，从S的所有非空子集中，等可能地取出一个。
（I）设，若，则，就称子集A满足性质，求所取出的非空子集满足性质的概率；
（II）所取出的非空子集的最大元素为，求的分布列和数学期望。
18. （本小题满分14分）
如图，已知椭圆的左焦点为F（，0），过点M（-3，0）作一条斜率大于0的直线与椭圆W交于不同的两点A、B，延长BF交椭圆W于点C。

（I）求椭圆W的离心率；
（II）若∠MAC=60°，求直线的斜率。
19. （本小题满分13分）
已知定义在上的函数，。
（I）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；
（II）若且对任意的恒成立，求的最大值。
20. （本小题满分14分）
给定正奇数，数列：是1，2，…，的一个排列，定义E（，…，）为数列：，，…，的位差和。
（I）当时，求数列：1，3，4，2，5的位差和；
（II）若位差和E（，，…，）=4，求满足条件的数列：，，…，的个数；
（III）若位差和，求满足条件的数列：的个数。

参考答案：
一、选择题。（共8小题，每小题5分，共40分）
1. A 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. C 8. D
7. 提示：由图可知，不等式组所表示的区域非空当且仅当点（）位于直线的下方，即，由此解得。
原题等价于函数的最大值小于2，即。
8. 提示：为R上的减函数，故，从而，所以，得。

二、填空题。（共6小题，每小题5分，共30分）
9. -1 10. 11. 3 12. 乙
13.
14. 提示：A走过的路径由9段圆心角均为的劣弧组成，其中6个劣弧所在圆的半径为1，3个劣弧所在圆的半径为，所以点A走过的路径的长度为
。

三、解答题。（共6小题，共80分）
15. （本小题满分13分）
解：（I）由，
可得，
即，又，所以，
由正弦定理得，（4分）
因为，所以0，从而，即。（6分）
（II）由余弦定理，得，
又，所以，于是，（11分）
当时，取到最大值。（13分）
16. （本小题满分13分）
解：（I）连接AC，则AC⊥CD，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∴CD⊥平面PAC，
又PC平面PAC，
∴∠PCD=90°，（2分）
而∠PAD=90°，
从而三棱锥P-ACD外接球的球心为PD中点E。（4分）
直径，
所以三棱锥P-ACD外接球的体积
。（6分）

（II）建立坐标系，以点A为坐标原点，
分别为轴正方向，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）
。
设平面PBC的法向量，则即
∴=（1，0，1）
由（I）知CD⊥平面PAC，故平面PAC的一个法向量为=（-1，1，0），（8分）
所以。
二面角B-PC-A的大小为，其正弦值为，（10分）
由CD⊥平面PAC，得平面PCD⊥平面PAC，二面角A-PC-D为直二面角，其正弦值为1，（12分）
综上，二面角B—PC—A与二面角A—PC—D的正弦值之比为。（13分）
17. （本小题满分13分）
解：可列举出集合S的非空子集的个数为：个。（2分）
（I）满足性质的非空子集为：，，，，，，共7个，所以所取出的非空子集满足性质的概率为：
。（6分）
（II）的可能值为1，2，3，4，5。

1
2
3
4
5
P

（11分）
。（13分）
18. （本小题满分14分）
解：（I）由题设，
解得，（3分）
所以椭圆W：，
离心率。（5分）

（II）设直线的方程为。
联立
得，
由直线与椭圆W交于A、B两点，可知
△，解得，
设点A，B的坐标分别为，
则，，（8分）
因为F（-2，0），设点A关于轴的对称点为C′，则C′（），
所以，
又因为

，
所以B，F，C′共线，从而C与C′重合，
连接MC，则，（12分）
则△MAC为等边三角形，所以直线的斜率，符合，
综上，直线的斜率为。（14分）
19. （本小题满分13分）
解：（I），，则，
故在上单调递增，（3分）
而，
所以存在唯一的零点。（6分）
（II）由（I）存在唯一的零点显然满足：，
且当时，；当时，，
当时，等价于，
设。
则，故与同号，因此当时，；
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，（10分）
故，
由题意有，又，而，故的最大值是3。（13分）
20. （本小题满分14分）
解：（I）E（1，3，4，2，5）=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4；（3分）
（II）若数列：，，…，的位差和E（，，…，）=4，有如下两种情况：
情况一：当，，，，且，其他项（其中）时，有种可能；（5分）
情况二：当分别等于或，，或，，其他项（其中）时，有种可能；（7分）
综上，满足条件的数列：的个数为
。（8分）
例如：时，
情况一：形如2，1，4，3，5，共有2+1=3种：2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；1，3，2，5，4；
情况二：形如3，2，1，4，5，共有5-2=3种：3，2，1，4，5；1，4，3，2，5；1，2，5，4，3；
形如2，3，1，4，5，共有5-2=3种：2，3，1，4，5；1，3，4，2，5；1，2，4，5，3；
形如3，1，2，4，5，共有5-2=3种：3，1，2，4，5；1，4，2，3，5；1，2，5，3，4。
（III）将去绝对值符号后，所得结果为
112233…
的形式，其中恰好有个数前面为减号，这表明

，（10分）
此不等式成立是因为前面为减号的个数最小为：2个1，2个2，…，2个和1个。（11分）
上面的讨论表明，题中所求的数列是使得E（）最大的数列，这样的数列在时，要求从1，2，…，中任选一个数作为，将剩余数中较大的个数的排列作为…，的对应值，较小的个数的排列作为，，…，的对应值，于是所求数列的个数为。
综上，满足条件的数列的个数为（14分）
例如：时，
E（）。

此不等式成立是因为前面为减号的5个数最小为：2个1，2个2和1个3。
若E（）=12，，此时时，要求从1，2，3，4，5中任选一个数作为，将剩余数中较大的2个数的排列作为，的对应值，较小的2个数的排列作为的对应值，于是所求数列的个数为。
4，5，1，2，3；4，5，1，3，2；5，4，1，2，3；5，4，1，3，2；
4，5，2，1，3；4，5，2，3，1；5，4，2，1，3；5，4，2，3，1；
4，5，3，1，2；4，5，3，2，1；5，4，3，1，2；5，4，3，2，1；
3，5，4，1，2；3，5，4，2，1；5，3，4，1，2；5，3，4，2，1；
3，4，5，1，2；3，4，5，2，1；4，3，5，1，2；4，3，5，2，1。
题目背景：假设现在有种物品，已经按照某种标准排列，并依次确定编号为1，2，…，，鉴别师事先不知道物品的标准排列编号，而是根据自己的判断，对这种物品进行排列依次编号为，其中是1，2，…，的一个排列，那么可以用数列：的位差和
E（）=，
来评判鉴别师的能力。
当E（）越小，说明鉴别师能力越强；反之越大，说明鉴别师能力越弱；
当E（）=0，说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致，判断完全正确；
第二问，位差和E（）=4时，给出数列：的情况；
第三问，说明位差和E（）最大值为，且给出取得最大值时，数列：的情况。

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