2016年北京市高考理科数学试题及答案.doc

2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合A=B=，则 （A） （B）（C） （D） （2）若x,y满足 ，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1 （B）2（C）3 （D）4（4）设a,b是向量，则“”是“”的（A） 充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C） 充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）已知x,yR,且xyo，则（A）- （B）（C） (-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A） （B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（ ，t ）向左平移s（s0） 个单位长度得到点P.若 P位于函数的图像上，则（A）t= ，s的最小值为 （B）t= ，s的最小值为 （C）t= ，s的最小值为 （D）t= ，s的最小值为 （8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_。（10）在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点， 则 =_.（12）已知为等差数列，为其前n项和，若 ，则.（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_.（14）设函数 若a=0，则f(x)的最大值为_； 若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_。三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）在ABC中，（I）求 的大小（II）求 的最大值（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（I） 试估计C班的学生人数；（II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和的大小，（结论不要求证明）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,（I）求证：PD平面PAB; （II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（II I）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求 的值；若不存在，说明理由。（18）（本小题13分）设函数f(x)=xe +bx，曲线y=f(x)d hko (2,f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4，（I）求a,b的值； (I I) 求f(x)的单调区间。（19）（本小题14分）已知椭圆C： （ab0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），OAB的面积为1.（I）求椭圆C的方程；(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANl lBMl为定值。（20）（本小题13分） 设数列A： ， , (N2)。如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有 ，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；(I I)证明：若数列A中存在使得，则G（A） ；(I I I）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则G（A）的元素个数不小于 -。2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）C （3）B （4）D（5）C （6）A （7）A （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10）（11) （12）（13） （14） 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）由余弦定理及题设得.又因为，所以.（）由（）知.,因为，所以当时，取得最大值.（16）（共13分）解：（）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名.根据分层抽样方法，班的学生人数估计为.（）设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，事件为“乙是现有样本中班的第个人”，由题意可知，；，.,.设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，因此（）.（17）（共14分）解：（）因为平面平面，所以平面.所以.又因为，所以平面.（）取的中点，连结.因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系.由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.（18）（共13分）解：（）因为，所以.依题设，即解得.（）由（）知.由即知，与同号.令，则.所以，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，故的单调递增区间为.（19）（共14分）解：（）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（）由（）知，设，则.当时，直线的方程为.令，得.从而.直线的方程为.令，得.从而.所以.当时，所以.综上，为定值.（20）（共13分）解：（）的元素为和.（）因为存在使得，所以.记，则，且对任意正整数.因此，从而.（）当时，结论成立.以下设.由（）知.设，记.则.对，记.如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意，特别地，.对.因此.所以.因此的元素个数不小于.系列资料