等差数列前N项和的公式PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,等差数列前,n,项和公式,1,.,数学课堂,复习回顾,问题呈现,例题讲解,小结与作业,2,.,复习回顾,(1),等差数列的通项公式,:,已知首项,a,1,和公差,d,则有,:,a,n,=,a,1,+,(n-1)d,已知第,m,项,a,m,和公差,d,则有,:,a,n,=a,m,+(n-m)d,d=,（,a,n,-a,m,）,/,（,n-m,）,(2),等差数列的性质,:,在等差数列,a,n,中,如果,m+n=p+q,(m,n,p,qN),那么,:,a,n,+a,m,=a,p,+a,q,返回,3,.,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。,传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有,100,层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。,你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,问题呈现,问题,1,下一页,4,.,探究发现,问题,1,：图案中，第,1,层到第,21,层一共有多少颗宝石？,这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项,11,看成首、尾两项,1,和,21,的等差中项。,通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和。,有无简单的方法？,下一页,5,.,探究发现,问题,1,：图案中，第,1,层到第,21,层一共有多少颗宝石？,借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。,下一页,6,.,探究发现,问题,1,：图案中，第,1,层到第,21,层一共有多少颗宝石？,1,2,3,21,21,20,19,1,获得算法：,下一页,7,.,问题,2,一个堆放铅笔的,V,形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放,100,支,.,这个,V,形架上共放着多少支铅笔？,问题就是 求“,1+2+3+4+100=,？”,下一页,8,.,问题,2,：对于这个问题，德国著名数学家高斯,10,岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）,这个问题，可看成是求等差数列,1,，,2,，,3,，,，,n,，,的前,100,项的和。,假设,1+2+3+100=x,(1),那么,100+99+98+1=x.(2),由,(1)+(2),得,101+101+101+101=2x,100,个,101,所以,x=5050.,高斯,下一页,9,.,问题,3:,求,:1+2+3+4+n=?,记,:S=1+2 +3 +(n-2)+(n-1)+n,S=n+n-1)+(n-2)+3 +2 +1,下一页,10,.,设等差数列,a,1,a,2,a,3,它的前,n,项和是,S,n,=a,1,+a,2,+a,n-1,+a,n,(1),若把次序颠倒是,S,n,=a,n,+a,n-1,+a,2,+a,1,(2),由等差数列的性质,a,1,+a,n,=a,2,+a,n-1,=a,3,+a,n-2,=,由,(1)+(2),得,2s,n,=(a,1,+a,n,）,+(a,1,+a,n,）,+(a,1,+a,n,)+.,即,S,n,=n(a,1,+a,n,)/2,下面将对等差数列的前,n,项和公式进行推导,下一页,11,.,即前,n,项的和与首项末项及项数有关,若已知,a1,，,n,，,d,，则如何表示,Sn,呢？,因为,a,n,=a,1,+,（,n-1,）,d,所以,S,n,=na,1,+n(n-1)d/2,下一页,下一页,12,.,由此得到等差数列的,a,n,前,n,项和的公式,即：等差数列前,n,项的和等于,首末项,的,和,与,项数,乘,积,的一半。,上面的公式又可以写成,由等差数列的通项公式,a,n,=,a,1,+,(,n-1,),d,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。,正所谓：知三求二,下一页,13,.,【说明】,推导等差数列的前,n,项和公式的方法叫,；,a,n,为等差数列,，这是一个关于,的,没有,的“,”,倒序相加法,S,n,=,an,2,+bn,n,常数项,二次函数,（注意,a,还可以是 0）,等差数列前,n,项和公式补充知识,下一页,14,.,【,公式记忆,】,用梯形面积公式记忆等差数列前,n,项和公式，这里对图形进行了割、补两种处理，对应着等差数列,前,n,项和的两个公式,.,等差数列的前,n,项和公式类同于,；,梯形的面积公式,n,返回,15,.,例,1,某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：,m）,是：,8000,8500,9000,9500,10000,10500,这位运动员7天共跑了多少米？,解,：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，,记为,a,n,其中,a,1,=7500,a,7,=10500.,根据等差数列前,n,项和公式，得,答：这位长跑运动员,7,天共跑了,63000m.,下一页,16,.,例,2,等差数列,-10,，,-6,，,-2,，,2,，,前多少项的和是,54,？,本题实质是反用公式，解一个关于,n,的一元二次函数，注意得到的项数,n,必须是正整数.,下一页,17,.,解,：将题中的等差数列记为,a,n,，s,n,代表该数列 的前,n,项和，则有,a,1,=10,d=6(10)=4,根据等差数列前,n,项和公式：,解得,n,1,=9,n,=3(,舍去),因此等差数列10,6,2,2，前9项的和是54.,设该数列前,n,项和为54,下一页,18,.,例,3,求集合,M=m|m=7n,n,是正整数,且,m100,的元素个数,并求这些元素的和,.,解,:,由,7n100,得,n100,7,由于满足它的正整数,n,共有,14,个,集合,M,中的元素共有,14,个,.,即,7,14,21,91,98.,这是一个等差数列,各项的和是,答,:,集合,M,中的元素共有,14,个,它们的和为,735.,=735,返回,19,.,1.,推导等差数列前,n,项和公式的方法,小结：,2.,公式的应用中的数学思想,.,-,倒序相加法,-,方程思想,3.,公式中五个量,a,1,d,a,n,n,s,n,已知,其中三个量，可以求其余两个,-,知三求二,下一页,20,.,作业:,课本,P118:,习题,3.3,第七题,第九题,下一页,21,.,返回,22,.,