弹性力学-空间问题的基本理论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,空间问题的基本理论,第七章,合肥工业大学本科生教学,弹性力学,主讲教师：袁海平,(,副教授、博士后,),一、平衡微分方程,二、物体内任一点的应力状态,三、主应力 最大与最小的应力,四、几何方程及物理方程,五、轴对称问题的基本方程,例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程,(,第三版,),徐芝纶院士,(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,3,在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有,15,个，且均为,x,y,z,的函数。,空间问题的,基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法,，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。,平衡微分方程,一,弹性力学,空间问题的基本理论,4,取出微小的平行六面体，,考虑其,平衡条件,:,平衡微分方程,一,弹性力学,空间问题的基本理论,5,由,x,轴向投影力的,平衡微分方程,可得,因为,x,y,z,轴互相垂直，均为定向，量纲均为,L,，所以,x,y,z,坐标具有对等性，其方程也必然具有,对等性,。,平衡微分方程,一,弹性力学,空间问题的基本理论,6,由,3,个力矩方程得到,3,个,切应力互等定理,，,空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量,平衡微分方程,一,一、平衡微分方程,二、物体内任一点的应力状态三、主应力 最大与最小的应力,四、几何方程及物理方程,五、轴对称问题的基本方程,例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程,(,第三版,),徐芝纶院士,(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,8,在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量,，来求出斜面,(,法线为,）上的应力。,物体内任一点的应力状态,二,弹性力学,空间问题的基本理论,9,斜面的全应力,p,可表示为两种分量形式：,p,沿坐标向分量：,p,沿法向和切向分量：,物体内任一点的应力状态,二,弹性力学,空间问题的基本理论,10,取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为,d,s,则,x,面，,y,面和,z,面的面积分别为,l,d,s,m,d,s,n,d,s,。,由四面体的力平衡条件可得,1.,求,物体内任一点的应力状态,二,弹性力学,空间问题的基本理论,11,2.,求,将,向法向 投影，即得,得,由,物体内任一点的应力状态,二,弹性力学,空间问题的基本理论,12,设在 边界上，给定了面力分量 则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量 应代之为面力分量 ，从而得出,空间问题的应力边界条件,:,3.,在 上的应力边界条件,物体内任一点的应力状态,二,一、平衡微分方程,二、物体内任一点的应力状态,三、主应力 最大与最小的应力,四、几何方程及物理方程,五、轴对称问题的基本方程,例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程,(,第三版,),徐芝纶院士,(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,14,1.,假设 面,(,l,m,n,),为主面，则此斜面上,斜面上沿坐标向的应力分量为：,代入,得到：,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,15,考虑方向余弦关系式，有,结论：,式,(a),(b),是求主应力及其方向余弦的方程。,(b),主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,16,2.,求主应力,将式,(a),改写为：,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,17,上式是求解,lm,n,的齐次代数方程。由于,l,m,n,不全为,0,，所以其系数行列式必须为零，得,展开，即得,求主应力的方程,(c),主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,18,3.,应力主向,设主应力 的主向为 。代入式,(a),中的前两式，整理后得,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,19,由上两式解出 。然后由式,(b),得出,再求出 及 。,4.,一点至少存在着三个互相垂直的主应力,（证明见书上）。,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,20,5.,应力不变量,若从式,(c),求出三个主应力 ，则式,(c),也可以用根式方程表示为，,因式,(c),和,(f,),是等价的方程，故 的各幂次系数应相等，从而得出：,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,21,(g),主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,22,所以分别称 为第一、二、三应力不变量。,这些不变量常用于塑性力学之中。,式,(g),中的各式，左边是不随坐标选择而变的；而右边各项虽与坐标的选择有关，但其和也应与坐标选择无关。,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,23,6.,关于一点应力状态的结论：,6,个坐标面上的应力分量完全确定一点,的应力状态。只要,6,个坐标面上的应力,分量确定了，则通过此点的任何面上的,应力也完全确定并可求出。,(2),一点存在着,3,个互相垂直的应力主面及,主应力。,主应力 最大与最小的应力,三,弹性力学,空间问题的基本理论,24,(3),3,个主应力包含了此点的最大和最小,正应力。,(4),一点存在,3,个应力不变量,(5),最大和最小切应力为,，作用于通过中间,主应力、并且,“,平分最大和最小正应,力的夹角,”,的平面上。,设,主应力 最大与最小的应力,三,一、平衡微分方程,二、物体内任一点的应力状态,三、主应力 最大与最小的应力,四、几何方程及物理方程,五、轴对称问题的基本方程,例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程,(,第三版,),徐芝纶院士,(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,26,空间问题的几何方程，,可以从平面问题推广得出：,(a),几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,27,从几何方程同样可得出形变与位移之间的关系：,若位移确定，则形变完全确定。,从数学上看，由位移函数求导数是完全确定的，故形变完全确定。,几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,28,-,沿,x,y,z,向的刚体平移；,若形变确定，则位移不完全确定。,由形变求位移，要通过积分，会出现待定的函数。若 ，还存在对应的位移分量，为：,(b),-,绕,x,y,z,轴的刚体转动。,几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,29,若在 边界上给定了约束位移分量,，则,空间问题的位移边界条件为：,(c),几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,30,(d),其中由于小变形假定，略去了形变的,2,、,3,次幂。,体积应变,定义为：,几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,31,空间问题的物理方程,应变用应力表示，用于按应力求解方法：,(,x,y,z,).(e),可表示为两种形式：,几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,32,应力用应变表示，用于按位移求解方法：,(,x,y,z,).(f),由物理方程可以导出,（,g,）,是第一应力不变量，又称为体积应力。,-,称为体积模量。,几何方程及物理方程,四,弹性力学,空间问题的基本理论,33,空间问题的应力，形变，位移等,15,个未知函数，它们都是,(,x,y,z,),的函数。这些函数在区域,V,内必须满足,3,个平衡微分方程，,6,个几何方程及,6,个物理方程，并在边界上满足,3,个应力或位移的边界条件。,结论：,几何方程及物理方程,四,一、平衡微分方程,二、物体内任一点的应力状态,三、主应力 最大与最小的应力,四、几何方程及物理方程,五、轴对称问题的基本方程,例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程,(,第三版,),徐芝纶院士,(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,35,空间轴对称问题,采用柱坐标 表示。,如果弹性体的几何形状，约束情况和所受的外力都为轴对称，则应力，形变和位移也是轴对称的。,轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,36,对于,空间轴对称问题：,应力中只有,(a),形变中只有,位移中只有,所有物理量仅为,(,z,),的函数。,轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,37,而由,得出为 。,平衡微分方程：,轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,38,几何方程：,其中,几何方程为,轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,39,物理方程：,应变用应力表示：,(d),轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,40,应力用应变表示：,其中,轴对称问题的基本方程,五,弹性力学,空间问题的基本理论,41,边界条件：,一般用柱坐标表示时，边界面均为坐标面。所以边界条件也十分简单。,在柱坐标中，坐标分量 的量纲、方向性、坐标线的性质不是完全相同的。因此，相应的方程不具有对等性。,轴对称问题的基本方程,五,一、平衡微分方程,二、物体内任一点的应力状态,三、主应力 最大与最小的应力,四、几何方程及物理方程,五、轴对称问题的基本方程,例题,第七章空间问题的基本理论,内容提要,弹性力学简明教程,(,第三版,),徐芝纶院士,(1911-1999),弹性力学,空间问题的基本理论,43,例题,1,设物体的边界面方程为,试求出边界面的应力边界条件；若面力为法向的分布拉力 应力边界条件是什么形式？,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,44,（,x,y,z,),，,其中,解,：,当物体的边界面方程为,时，它的表面法线的方向余弦 为,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,45,当面力为法向分布拉力,q,时，,(,x,y,z,).,因此，应力边界条件为,代入应力边界条件，得,(,x,y,z,).,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,46,例题,2,试求图示空间弹性体中的应力分量。,(a),正六面体弹性体置于刚体中，上边界受均布压力,q,作用，设刚性体与弹性体之间无摩擦力。,(b),半无限大空间体，其表面受均布压力,q,的作用。,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,47,q,q,o,o,x,x,z,z,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,48,解：,图示的,(,a,),(,b,),两问题是相同的应力状态：,x,向与,y,向的应力、应变和位移都是相同的，即等。,对于,(,a,),，有约束条件；,对于,(,b,),，有对称条件。,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,49,则可解出：,而两者的，因此，由物理方程：,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,50,例题,图示的弹性体为一长柱形体，在顶面,z=0,上有一集中力,F,作用于角点，试写出,z=0,表面上的边界条件。,x,y,o,b,b,a,a,z,图,7-5,P,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,51,解,：,本题是空间问题，,z=0,的表面是小边,界，可以应用,圣维南原理,列出应力的边界条件。即在,z=0,的表面边界上，使应力的主矢量和主矩，分别等于面力的主矢量和主矩，两者数值相等，方向一致。,由于面力的主矢量和主矩是给定的，因此，应力的主矢量和主矩的数值，应等于面力的主矢量和主矩的数值；,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,52,而面力主矢量和主矩的方向，就是应力主矢量和主矩的方向。应力主矢量和主矩的正负号和正负方向，则根据应力的正负号和正负方向来确定。,对于一般的空间问题，列积分的应力边界条件时，应包括,6,个条件。对于图示问题这,6,个积分的边界条件是：,例题,六,弹性力学,空间问题的基本理论,53,例题,六,