高等数学八空间解析几何PPT课件.ppt

高等数学(下册)第八章 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算第二节 数量积 向量积 *混合积第三节 曲面及其方程第四节 空间曲线及其方程第五节 平面及其方程第六节 空间直线及其方程高等数学(下册)一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 8.1 向量及其运算高等数学(下册)表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又称矢量).既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,零向量:模为 0 的向量,有向线段 高等数学(下册)规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;高等数学(下册)二、向量的线性运算1.向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.高等数学(下册)高等数学(下册)2.向量的减法三角不等式高等数学(下册)3.向量与数的乘法 是一个数,与 a 的乘积是一个新向量,记作特别的:高等数学(下册)结合律运算律:分配律因此高等数学(下册)定理1.设 a 为非零向量,则(为唯一实数)abOiPxx点P实数x轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 直线上点的坐标平面上点的坐标OQpMxyij点M向量 平面的上点M的坐标为（x，y）的充分 必要条件是 向量高等数学(下册)定理1.设 a 为非零向量,则(为唯一实数)abOiPxx点P实数x轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 直线上点的坐标平面上点的坐标OQpMxyij点M向量 平面的上点M的坐标为（x，y）的充分 必要条件是 向量高等数学(下册)三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 O,坐标面 卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念高等数学(下册)向径在直角坐标系下坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点 M特殊点的坐标:有序数组称有序数组为点M的坐标,记为 M原点 O(0,0,0);高等数学(下册)坐标轴:坐标面:高等数学(下册)2.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式,任意向量 r 可用向径 OM 表示.高等数学(下册)四、利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:高等数学(下册)例2.求解以向量为未知元的线性方程组解:2 3,得代入得高等数学(下册)例3.已知两点在AB直线上求一点 M,使解:设 M 的坐标为如图所示及实数得即故高等数学(下册)说明:由得定比分点公式:点 M 为 AB 的中点,于是得中点公式:高等数学(下册)五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与高等数学(下册)例4.求证以证:即为等腰直角三角形.的三角形是等腰直角三角形.为顶点高等数学(下册)例5.在 z 轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?离的点.高等数学(下册)提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求高等数学(下册)2.方向角与方向余弦设有两非零向量 任取空间一点 O,称 =AOB(0 )为向量 的夹角.类似可定义向量与 轴,轴与 轴的夹角.与三坐标轴的夹角,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作高等数学(下册)方向余弦的性质:高等数学(下册)例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量高等数学(下册)例8.设点 A 位于第一卦限,解:已知角依次为求点 A 的坐标.则因点 A 在第一卦限,故于是故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴，y 轴的夹 高等数学(下册)3.向量的投影的概念空间一点在轴上的投影高等数学(下册)过点 作一平面与轴 垂直，该平面与轴 交于一点 ，则 称为向量 在 轴 上的分向量，设 则称数 为 在轴 上的投影，记作 或向量 在轴 上的投影：高等数学(下册)在三条坐标轴上的投影，即从而或向量的投影具有与坐标相同的性质性质性质1 1（是 与 轴的夹角）性质性质2 2性质性质3 3高等数学(下册)作业：p12-13习题8-1 1,3，4，5，13,14,15