2013北师大版选修4-4第一章-坐标系课时练习题及答案解析课时作业1.doc

一、选择题
1．▱ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则顶点D的坐标是(　　)
A．(9，－1)　　　　　 B．(－3,1)
C．(1,3) D．(2,2)
【解析】　由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D点坐标．设D点坐标为(x，y)，则即　∴故D点坐标为(1,3)．故应选C. X k B 1 . c o m
【答案】　C
2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是(　　)
A．两条直线 B．四条直线
C．两个点 D．四个点
【解析】　由方程得：解得或
或或故选D.
【答案】　D
3．(2013·南阳模拟)在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为(　　)
A．y＝cos x B．y＝3cosx
C．y＝2cosx D．y＝cos 3x
【解析】　由得
代入y＝cos 2x，
得＝cos x′.
∴y′＝cos x′，即曲线y＝cos x.
【答案】　A
4．(2012·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
【解析】　因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
【答案】　C
二、填空题
5．x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中，以原点为圆心，4为半径的圆的图形变为________．
【解析】　如果x轴的单位长度不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2＋y2＝16的图形变为中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆．
【答案】　椭圆
6．如图1－1－3所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是________．

图1－1－3

【解析】　过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连结PH、PM，可证PH⊥A1D1，设P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－[(x－)2＋y2]＝1，化简得y2＝x－.
【答案】　y2＝x－
三、解答题
7．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，求城市B处于危险区内的时间．

【解】　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B点坐标为(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.
求得|MN|＝2＝20(km)．http:// www.xkb1 .com
所以＝1，所以城市B处于危险区内的时间为1 h.
8．A为定点，线段BC在定直线l上滑动．已知|BC|＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．

【解】　建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，A点在y轴上(如右图)，则A点的坐标为(0,3)．设外心P点的坐标为(x，y)．
∵P在BC的垂直平分线上，
∴B(x＋2,0)，C(x－2,0)．
∵P也在AB的垂直平分线上，
∴|PA|＝|PB|，
即＝.
化简得x2－6y＋5＝0.
这就是所求的轨迹方程．
9．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1－1－4，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)，B(6,0)．

图1－1－4
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A，B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？
【解】　(1)设曲线方程为y＝ax2＋，
∵ 点D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知

得4y2－7y－36＝0.
y＝4或y＝－(舍去)，∴y＝4.
得x＝6或x＝－6(舍去)．
∴C点的坐标为(6,4)，
∴|AC|＝2，|BC|＝4.
所以当航天器离观测点A，B的距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令．
教师备选
10．已知A(－1,0)，B(1,0)，圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，在圆C上是否分别存在一点P，使|PA|2＋|PB|2取得最小值与最大值？若存在，求出点P的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由．
【解】　假设圆C上分别存在一点P使|PA|2＋|PB|2取得最小值和最大值，则由三角形的中线与边长的关系式得|PA|2＋|PB2＝2(|PO|2＋|AO|2)＝2|PO|2＋2，
可见，当|PO|分别取得最小值和最大值时，相应地|PA|2＋|PB|2分别取得最小值与最大值．
设直线OC分别交圆C于P1，P2，
则|P1O|最小，|P2O|最大，如图所示．

由已知条件得
|OC|＝＝5，r＝2，
于是|P1O|＝|OC|－r＝5－2＝3，
|P2O|＝|OC|＋r＝5＋2＝7，
所以|PA|2＋|PB|2的最小值为2×32＋2＝20，
最大值为2×72＋2＝100.
下面求P1，P2的坐标：
直线OC的方程为y＝x，
由
消去y并整理得25x2－150x＋9×21＝0，
∴(5x－9)(5x－21)＝0，
解得x1＝，x2＝，
∴或新 课 标 第 一 网
∴P1(，)，P2(，)为所求．
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