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排列组合中几个易混淆问题辨析

文章来源：现代教育报·思维训练 作者：王强芳 点击数：1583 更新时间：2007-4-12 14:25:58

　１. 分组问题
　分组问题是排列组合中的一个难点，主要有以下三种情况.
　１.1 非平均分组问题
　在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的方法相同.
　【例１】 把１２个人分成如下三组，分别求出以下各种分组的方法数.
　（１）分成甲、乙、丙三组，其中甲组７人、乙组３个、丙组２人.
　（２）分成三组，其中一组７人、一组３人、一组２人.
　解： （１）先从１２人中任选７人为甲组，余下５人中任选３人为乙组，剩下２人为丙组，则共有种不同的分组方法.
　（2）先从１２人中任选７人为一组有种选法，再从余下５人中任选３人有种选法，剩下的２人为一组，共有种不同的方法.
　【点评】 由于各组人数不同，这个问题属于非平均分组问题，尽管第（1）个问题中给出了甲、乙、丙三个组，而第（２）个问题只是给出了各组人数而没有具体指定组名，但分组的方法数都是一样的.
易错点：误把（１）的结果表示为

　１.2 平均分组问题
　上面的非平均分组问题中，是否给出组名对结果没有影响，但在平均分组问题中一定要注意问题是否给出了具体的组名，它们的结果是不同的.
　【例２】 有６本不同的书，按下列要求分配，各有多少种不同的分法？
　（１）分给甲、乙、丙三人，每人两本.
　（２）平均分成三份.
　解： （１）从６本书中任取２本给一个人，再从剩下的４本中取２本给另一个人，剩下的２本给最后一人，共有＝９０种分法.
　（２）设平均分成三堆有x种方法，再分给甲、乙、丙三人每人得２本，则应有
　∴ ＝１５种不同的分法.
　【点评】 上面例子可以看出：两个问题都是分成３堆，每堆２本，属于平均分组问题，而（１）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相当于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（２）没有给出组名，因而结果是不同的.
　一般地，把n、m个不同元素平均分到m个不同的位置，有种方法，把n、m个不同元素平均分成m组有种分法.
易错点：错把（１）的结论写为错把（２）的结论写为
　１.3 局部平均分组问题
　某些分组问题中，有一部分组之间的元素的个数相同，但又不是所有组的元素都相同，这样的分组称为局部平均分组.解决这问题同样要考虑分组时是否给出了组名.
　【例３】 （１）把６本不同的书分给４人，两人各得１本，另外两人各得２本，有几种分法？
　（２）把６本不同的书分成４份，两份各１本，两份各２本，有几种分法？
解析： 我们先来研究：“两个无区别的白球与两个无区别的红球排成一排的方法数”问题.
如果这４个球各不相同，则有种排法，由于白球和红球各有种排法，因此两个白球与两个红球排成一排的排法有种，下面来解决上述问题.
　（１）可按下面步骤完成：先将６本书分成１本、１本、２本、２本４个部分，然后让四个人去全排列取书，即有种.
　（２）先把６本书分成１本、１本、２本、２本的４堆，由于两个１本与两个２本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法数为　种.
　【点评】 两个问题同属局部平均分组问题，但（１）中指定分给了４个人，相当于指定了组名，而（２）没有给出组名，因此分组的情况是不相同的.事实上，（１）中相当于把４本书分成两份２本，两份１本，共有种分配方法，然后把它分给４个人.
　在元素相同的组中，若没给出具体的组名，则必须除以相同元素的组数的阶乘，若把问题改为：把６本不同的书分成Ａ、Ｂ、ＣＤ四堆，其中Ａ、Ｂ各２本，Ｃ、Ｄ各１本，则有几种分法？
该问题的分法有种分法.
　易错点：误把（２）中的结论表示为 .
　因此，在解决分组问题中，要弄清以下几点：①分配对象是否明确（组名是否给出）？
　②是否平均分配？
　③是否局部平均分配？
　④分配中有无顺序关系？
　２. 挡板模型与分组问题
　挡板模型是解决排列组合问题的常用方法之一，且效果极佳，但有些分配问题如果不加分析而乱套挡板模型，则极易出现误解.
　【例４】 ５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？
　错解： 把５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在４块挡板中任取２块，一共有＝６种不同的方法.
　错因： ５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问题改为：把５个名额分配给３个班，每班至少有１人.问有几种不同的分法？５个名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.
　正解：先把５位老师分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有和种，再分到三个班里，共有＝１５０种.
　【点评】 类似上面的分配问题，当元素有区别时，要利用分组办法解决，当元素无区别时，可用挡板模型来解决.
　3. 挡板模型与双排问题
　在元素无区别分配问题中，通常考虑用挡板模型来解决，但一定要注意题目给出的条件，否则极易出错.
　【例５】 从５个班中选１０人组成一个篮球队（无任何要求），有几种选法？
　错解： 选把１０个指标排好，插入９块挡块：０|０|０|０|０|０|０|０|０|０
然后在９块挡板中任取４块即可分成５份，有＝１２６种分法.
　错因： 问题并没有给出“每班至少１人”这个条件，而采用挡板解决时，实际上它就是要求每班至少有１人参加.事实上，这１０个名额可给一个班，也可给两个班…
　正解：因为把１０个指标分成５个部分，只须４块挡板，称为第一类元素，１０个指标为第二类元素，共１４个元素.当这些元素都有区别时共有种排法.
　但１０个指标，４块挡板各组之间不管怎么变化，其实就是一种情况的共有＝１００１种不同分法（或）.
　【点评】 当分组数超过３个时，若没有给出“每组至少有１个”这个条件时，是不能用挡板法解决的，而要用双排列方法解决.而双排问题就是把元素分成相同的两类，然后加以解决.
两类元素排列的问题涉及面很广，它实质上就是有重复元素排列的一种简单情形，在历年的高考中时有出现，应予以重视.

教《平均分组与不平均分组》有感

西周中学 周玲素

学生在学习 高二数学第十章《排列、组合和二项式定理》过程中，解答有关平均分组与不平均分组的应用题时感到非常棘手，主要是难以理解、无法入手。作为教师，如何突破这一难点呢？我吸取以往学生学习这块知识点困难的教训，根据历年来的教学经验，决定对今年这届高二学生采用新的教学方法，效果还真不错。
首先，在要上这块内容的前一天，我自拟了一道题，分15小题，题目简洁明了，写在小张练习纸上发给学生作预习工作。
例：有6本不同的书，
⑴分给甲、乙、丙三人，每人得2本，有多少种方法？
⑵分成三堆，每堆2本，有多少种方法？
⑶分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种方法？
⑷分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种方法？
⑸分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种方法？
⑹分给甲、乙、丙三人，甲得4本，乙、丙各得1本，有多少种方法？
⑺分成三堆，一堆4本，另两堆各1本，有多少种方法？
⑻分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各得1本，有多少种方法？
⑼分成三堆，共有多少种方法？
⑽分给三人，每人至少1本，共有多少种方法？
⑾分成四堆，其中两堆各1本，另两堆各2本，有多少种方法？
⑿分给甲、乙、丙、丁四人，其中甲、乙各得1本，丙、丁各得2本，有多少种方法？
⒀分给甲、乙、丙、丁四人，其中两人各得1本，另两人各得2本，有多少种方法？
⒁分成四堆，共有多少种方法？
⒂分给四人，每人至少1本，共有多少种方法？
从当天晚上学生预做情况来看，前几题尚有点解题思路，越做到后来，头脑就被弄得稀里糊涂。我丛容学生大胆尝试，无论结论正确与否，先按照自己对排列、组合的理解，对每一题作出一个结论。即使有许多同学头脑中理不清思路，从而得不出一个结论，但最起码对各小题都进行了认真的思考。
其次，在第二天课堂上师生共同对15小题进行讨论。
⑴分给甲、乙、丙三人，每人得2本，有多少种方法？
生：第⑴小题中，先从6本书中任取2本给甲有С62种方法，再从剩下4本书中选出2本给乙有С42种方法，留下最后2本给丙有С22种方法，所以共有С62С42С22种方法。
师：肯定⑴的答案是С62С42С22，那么第⑵小题的答案呢？是不是也是С62С42С22？
⑵分成三堆，每堆2本，有多少种方法？
师生共同探讨：若是按С62С42С22来取书，我们先把6本书进行编号，分别记作本1、本2、本3、本4、本5和本6。取法可能有在步骤С62时取到本1和本2，接下来在步骤С42时取到本3和本4，最后在步骤С22取到本5和本6，结果分成本1和本2、本3和本4、本5和本6三堆；但也有可能先取到本3和本4，再取到本1和本2，最后取到本5和本6，结果也分成本1和本2、本3和本4、本5和本6三堆。可见上述两种可能只能算一种，这说明按С62С42С22种算有重复。那第⑵小题的答案应是什么呢？很明显下述6种取法：
① 本1和本2 本3和本4 本5和本6
② 本1和本2 本5和本6 本3和本4
③ 本3和本4 本1和本2 本5和本6
④ 本3和本4 本5和本6 本1和本2
⑤ 本5和本6 本1和本2 本3和本4
⑥ 本5和本6 本3和本4 本1和本2
实际上 分成本1和本2、本3和本4、本5和本6共三堆。在第⑴小题中算6种，而在 第⑵小题中算1种方法。不难得出第⑵小题的答案应是 С62С42С22 /6种。为什么是除以6呢 ？不难发现三个量 “本1和本2 ”、“本3和本4”、“ 本5和本6”的全排列共有А33个，所以第⑵小题的答案应是 С62С42С22 /А33种。
⑶分给甲、乙、丙三人，甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种方法？

师：⑶及它以后的答案呢？
由学 生共同探讨，逐步得出各题的结论：
⑶的答案是С61С52С33（基本上一致认同，师指出：答案还有С62С41С33、С63С32С11、С61С53С11等）；
⑷的答案是С61С52С33 （一起分析С61С52С33 /А33不正确，原因分堆成平均2、2、2与分堆成不平均1、