1、第二节 鞅的基本概念和性质
定义1-2-1 设为概率空间，为概率空间上的一族随机变量，则称为概率空间上的随机过程。
注1-2-1 由随机过程的定义知，对固定的，为上的随机变量，对固定的，为的函数。以后设或。
定义1-2-2 设为概率空间上的随机过程，如果
（）是 是适应的
（）
（）对
则称为的鞅。
如果有
（）对
则称为的上鞅。
如果有
（）对
则称为的下鞅。
注1-2-2 如果是上鞅，则为下鞅。如果既是上鞅又是下鞅，则为鞅。
注1-2-3 由定义1-2-2的条件可知，如果是鞅，则对,都有。事实上，取，则，
于是
所以
。
如果是
2、下鞅，，都有
事实上，取，则
所以
。
同样地，是上鞅，，都有
（习题1-2-1）
例1 设为相互独立的随机变量，且，是维的Borel可测函数，令
并假设，。定义随机变量的序列
为常数）
则是鞅。事实上，
又
因为
所以是可测的，故
又因为和是独立的，与也独立，故
由此知是鞅。
这个例子的直观意思为，设赌徒每局赢的概率为，事件表示第n局赢，表示第n局输，所以
假定是独立的，而赌者在第n局的策略依赖于以前n-1局
3、的战绩，即赌注是的函数，我们记之为
则第n局的盈亏为
这里设初始赌注为，于是我们可知
即，平均地讲，净利的平均值为零。事实上
例2 Doob的鞅过程
设是随机变量序列，X是随机变量，.令，
则是鞅。它 被称为Doob的鞅过程。事实上，
=
又
定理1-2-1 设，是鞅（或下鞅），则
（1）是鞅（或下鞅）；
（2）是下鞅；
（3）是上鞅。
证明：（2）设，则。又，所以，。
习题1-2-2：证明（1）（3）。
定理1-2-2 （1）设是鞅，是定义在上的凸函数。如果对一切，，则是下鞅。
（2）设是下鞅，是定义在上的非降凸函数。如果对一切，，则是下鞅。
（3）设是上鞅，是定义在上的非降凹函数。如果对一切，，则是上鞅。
证明：（2）因为是下鞅，所以
因为非降，
又因为是凸函数，
所以
。
习题1-2-3：证明（1）（3）。
推论1-2-1 设是鞅（或非负下鞅），，且对，可积，则是下鞅。
证明：习题1-2-4
推论1-2-2 如果是下鞅，则也是下鞅。这里，。
证明：习题1-2-5
习题1-2-6 设为独立随机变量序列，，则为鞅序列，这里。
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