数学论文之极限.doc

论述主题：高等数学中的极限思想
学院：计算机与通信工程学院
班级：计算机科学与技术1301
论述者：杨凌锋
参考文献：《百度文库》，《高等数学第三版》，《同济大学数学系论极限》
高等数学中的极限思想
在没接触高等数学之前，我所认知的数学解题方法大致可以分为三类：1.代数计算（对数据进行分析进行代数运算）；2.几何作图（通过对图像的分析研究问题）；3.从特殊到一般的特殊化方法（如数学归纳法）。但是进入大学，学了高数之后，我有知道了一种数学中极为常用的思想方法——极限思想。在我看来，极限思想贯穿了整个高等数学，它不仅是数学分析的重要概念之一，有是微积分理论的基础，因而想要学好高等数学，首要的是掌握极限思想。对此，我对极限思想的作用和极限的一些基本解法做了一些了解和总结。
（一）极限思想的作用
世界本是由数字组成的，数学的进步就是世界的进步，这也许就是数学的魅力，不独立于其他事物，作为研究其他学科的工具。于是，也许你单是考虑极限并没有多大价值，但是它与其他知识结合起来就可以体现出巨大的力量。极限思想在现代数学乃至物理学等学科中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从“不变”认识“变”，从直线形认识曲线形，从近似认识精确。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和”的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。
“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如，要求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法是无法解决的，困难在于速度是变量。为此，人们先在小范围内用匀速代替变速，并求其平均速度，把瞬时速度定义为平均速度的极限，就是借助于极限的思想方法，从“不变”来认识“变”的。
曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了”。直线形的面积容易求得，求曲线形的面积问题用初等的方法是不能解决的。刘徽用圆内接多边形逼近圆，一般地，人们用小矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，都是借助于极限的思想方法，从直线形来认识曲线形的（以直代曲思想）。
量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。
（二）高等数学中有关极限的求法总结
一·直接代入法极限
连续函数有定义，若函数在点连续，则有；也就是说，假如函数在处是连续的，那么在时，函数的极限为。所以通常情况下只需把x的值直接带入表达式就可以了，如果结果有意义，则那就是极限值。
例：求
解：很显然函数在x=0处连续，所以只要将值带入即可。原式=。
这种解法在考虑函数是否连续比较麻烦，但考虑带入后值是否有意义十分简单，建议在算极限时先带入计算一下，如果值有意义那答案就八九不离十了。
二·消去零因子法
有时在计算极限时常常会遇到所求极限的分子的极限和分母的极限都为零,即型，且分子分母都为有理多项式的情况下，可以观察因式特征对其进行因式分解来消去零因子。
例：求；
解：原式=。
在用这种方法时要有充分的数据敏感性，准确的把握能够因式分解的代数式。
三·分子分母有理化
根式的出现往往令人烦恼，如果直接带入法可以解决是最好不过，但当直接代入法行不通时，可以考虑用分子分母有理化来达到化解的地步。
例：求；解：可以发现，这题直接带入时分子分母同时为零（没有意义），而且不能因式分解，但对他进行分子有理化却可以计算出极限值；原式=。
四·同除以最高次幂法
此类方法适用于变量趋向于无穷大的情况，同除以最高次后会出现趋向于无穷小的量。

例：求；
解：原式=（x趋向于无穷大，趋向于0）。这样转化就可以把无穷大量转变为函数在0处是否连续的问题了，之后直接将等于0带入即可。

五·利用无穷小的性质求极限：（1）有限个无穷小的和为无穷小（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
例1：求；
解：时，所以由无穷小的性质可知，极限的值为无穷小。例2：求；
解：可知, 所以是有界函数与无穷小的乘积的类型，极限值为0.
六·利用重要极限
这两个重要极限在求极限的解题过程中起着十分重要的作用，而且将x代换成就可以解决一类问题。
例1：求；
解，由重要极限可知，原式=1；
例2：求：
解：。
注：如果遇到（类型）的求极限时可用以下这个下公式，证明过程要用到恒等变形，比较简单，在此不给出证明。
七·利用洛比达法则求极限
如果函数式的极限出现了等未定式时，可采用洛必达法则。方法便是分子分母分别通时求导。
例1：求。
解：一看就是型的未定时，考虑用洛必达法则。原式=。
注意：在用洛必达法则时必须是未定式，而且如上题可以不止一次使用这个法则，只要满足未定式即可。
例2：求；
解：这个函数式并不是未定式类型，但是可以把它转化成未定式的类型之后再用洛必达法则；原式=。
注：不是所有的未定式都可以用洛比达法则，或者说如果用了洛必达法则但求不出极限不能说明极限不存在。
例3：求；
解：这也是一个未定式类型，如果用洛必达法则解，原式=极限不存在，解不出极限，但这个函数式极限是存在的。正解：原式=。因而在解题时应该具体问题具体分析，不要枉加结论。
八·利用等价无穷小替换求极限
（1）常用的等价无穷小替换有:当x趋向于0时，
，
，等（2）作等价无穷小替换时，通常不能将分子或分母的和式中的某一项或若干项等价无穷小替换，只可以将因式进行等价无穷小替换。
例：求;
解：（这题可以用洛必达法则解，但用等价无穷小解更方便。）时，
原式=。
九·利用夹逼定理求极限
定理：若且，则。
例：求；
解：设原式=，于是有而，所以，即原式等于1.
十·用泰勒公式求极限
泰勒公式
麦克劳林公式其中在0与1之间。运用这两个公式就可以把一些复杂函数转化成多项式，对求极限带来了极大的方便。
例：求极限；
解：这是型未定式，可采用洛必达法则，但还是比较繁琐。观察发现分母是四阶无穷小，可对和用相应的麦克劳林公式:
,
原式==。
十一·用定积分求一类特殊极限
定积分的求解过程分为分割，近似，求和，去取极限。既然定积分的最后一步是求极限，那么形如定积分第三步的和式极限也应该可以转化成定积分计算。
例：求；
解法(1)先把代数式写成号的形式，（2）将式子与进行比较系数，求出a和b,a=0,b=1其中为积分区间(3)还原为定积分形式原式=。
这种解法就体现了一种类比思想，就好比这样一题例：，求z的取值范围？常规思路是用x来表示y，然后将z看成一个函数求值域来解这题，但也可以把z看成点（1,4）到曲线上的点的距离的斜率的倒数。很明显第二种类比的方法将数学的两个分支结合起来使得解题更加顺畅。

十二·用微分中值定理解极限
这是我在图书馆的一本参辅书中看到的，的确这种方法可以将一类式子化简。
例：求;
解：令函数=，函数在之间连续，在可导，由拉格朗日中值定理可知，所以原式=，令分子为，为，可知为有界函数，在时，为无穷小量，所以极限值为0.
十三·变量代换求极限
变量代换不仅在极限中大有用处，在其他数学领域也起着重要作用，它可以将问题化难为易，化繁为简，是解题过程发生有利变化
例：求
解一：用洛必达法则 原式===；
解二：用换元法，设，原式=；
解法一需要对复合函数求导，比较复杂，相比之下解法二换元法就比较简单，可以避开对复合函数求导。适当的进行换元会有意想不到的惊喜，但是要是应该注意还换元后极限过程改变了。

（三）我在做极限问题时的考虑
一·明确是谁的极限过程以及极限过程是什么。有时求错极限不是因为不知道方法，而是看错了是谁的极限。例：求；此题本是简单的不能再简单了，但是一看差就会写成答案0，其实答案为x。此题是研究的过程，与x毫无关系，而表达式中也没出现a,那么结果就是表达式本身。这就好比下面这题三角函数题:已知，求。毫无关系，根本做不出来，但没看清的同学则会埋头苦做，结果一场空。
我们往往会因为经验而做错题目，例如我们平时常遇到的是求，答案为1，但的答案却为0，如果没看清x的极限过程，那么显然结果出错。换句话说，多做100题积累经验，不如做题时仔细审题。
二·合理的运用求极限的方法。尤其实在用洛必塔法则时应先考虑能否用等价无穷小代换来简化式子。
例：求，如果直接用洛必塔法则对分子分母进行求导可行，但显而易见的复杂，可以先来一步等价无穷小代换这样原式=十分简单。所以，并不是看着符合某中解法的式子就直接套用解法，还应考虑到计算的复杂性调整方法的选择，因而如果可以用等价无穷小代换的尽量用等价无穷小代换。
三·极限的基础——对式子的化简。我们所做的求极限的问题给出的函数解析式都是比较复杂的，难以很快察觉到极限的值是什么，因此需要对式子进行化简。
常用化简方法总结:
1. 分子分母有理化
2. 等价无穷小代换
3. 用泰勒公式代换
4. 用微分中值定理
5. 将其看成定积分的和式极限
6. 变量代换求极限
（以上化简的方法已经总结）
一般而言能把函数解析式化成基本初等函数的模型就最好了，可以用直接代入法；或者尽量用等价无穷小代换去掉一些根号，对数，指数，三角函数，将其改为多项式（方便计算和求导）；用换元法来改变一些复杂式子。

以上是我对极限的认识和对有关极限的解法的总结。
报告完毕，谢谢老师点评！2013.12.22