菜篮子工程数学建模.doc

周口师范学院
第三届数学建模竞赛

参赛题号 (从A/B中选择一项填写)： A
所属学院 (请填写完整的全名)： 数学与统计学院
参赛队员 (打印并签名) ：1. 张一
2. 张二
3. 张三

日期： 2015年 5月30日

周口师范学院第三届数学建模竞赛

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菜篮子工程中的蔬菜种植问题
摘要：为缓解我国副食品供不应求的矛盾，农业部于1988年提出建设“菜篮子工程”。一期工程建立了中央和地方的肉、蛋、奶、水产和蔬菜生产基地及良种繁育、饲料加工等服务体系，以保证居民一年四季都有新鲜的副食品供应。
蔬菜作为“菜篮子工程中的主要产品，备受各级政府的重视。到1995年，我国蔬菜种植的人均占有量已达到世界人均水平。
对于一些中小城市，蔬菜种植采取以郊区和农区种植为主，结合政府补贴的方式来保障城区蔬菜的供应。这样不仅提高了城区蔬菜供应的数量和质量，还带动了郊区和农区菜农种植蔬菜的积极性。
由于郊区和农区种植点的分散，以及市场需求中心的不集中，高成本的运费和市场迫切的需求成为了“菜篮子工程”中的两大头疼难题。
要解决的问题的突破口是如何获得最优经济方案并且满足市场对蔬菜的基本需求，要获得最优的经济方案可以从运输路费的政府补贴和蔬菜分配两方面进行合理的分配，通过一定的假设，采用线性回归的方法，对现有数据进行处理从而获得最优的运输和蔬菜分配方案。
另外，通过考虑市场供需关系的平衡，对模型进行优缺点的分析，使所得到的模型方案更具有使用价值。

关键词：菜篮子工程 线性规划模型 最优分配

一、 问题的重述

JG市的人口近90万，该市在郊区和农区建立了8个蔬菜种植基地，承担全市居民的蔬菜供应任务，每天将蔬菜运送到市区的35个蔬菜销售点。市区有15个主要交通路口，在蔬菜运送的过程中从蔬菜种植基地可以途径这些交通路口再到达蔬菜销售点。如果蔬菜销售点的需求量不能满足，则市政府要给予一定的短缺补偿。同时市政府还按照蔬菜种植基地供应蔬菜的数量以及路程，发放相应的运费补贴，以此提高蔬菜种植的积极性，运费补贴标准为0.04元/（1吨.1公里）。
附件1 蔬菜种植基地日供应量（吨/天）
种植基地
1
2
3
4
5
6
7
8
供应量
40
45
30
38
29
35
25
28

附件2 蔬菜销售点日需求量（吨/天）及短缺补偿（元/吨.天）
销售点
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
需求量
6.5
10.2
12
14.3
13
11
14
9.5
10
8.4
10.5
7
短缺补偿
710
700
580
600
570

480
500
610
440
705
610
630
销售点
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
需求量
8.5
12
11.6
12.5
13.6
9
7.3
10
12.7
7.4
6.7
12.5
短缺补偿
590
490
570
460
530
640
665
650
580
680
685
560
销售点
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35

需求量
9.6
15
7.2
8.9
10.3
9
7.7
8
11.4
12.1
10.7

短缺补偿
660
430
540
620
630
680
695
690
560
520
500

存在直达道路的位置
距离（km ）
（基地1，销售点4）
14
（基地1，销售点14）
16
（基地1，路口3）
10
（基地2，销售点14）
15
（基地2，销售点15）
5
（基地2，路口11）
9
（基地2，路口13）
7
（基地3，销售点27）
11
（基地3，销售点28）
12
（基地3，路口11）
19
（基地4，销售点29）
25

（基地4，销售点35）
10
（基地4，路口12）
15
（基地5，销售点33）
3
（基地5，销售点34）
14
（基地5，路口6）
26
（基地6，销售点9）
6
（基地6，销售点10）
25
（基地6，销售点19）
16
（基地6，销售点20）
8
（基地7，销售点1）
7
（基地7，路口8）
15
（基地7，路口9）
8
（基地8，销售点3）
15
（基地8，销售点4）
30
（基地8，路口9）
17
（基地8，路口10）
20
（销售点1，销售点2）
15
（销售点1，销售点7）
11
（销售点2，销售点6）

13
（销售点2，路口9）
6
（销售点2，路口14）
5
（销售点3，路口9）
6
（销售点3，路口10）
4
（销售点3，路口14）
4
（销售点4，路口3）
3
（销售点4，路口10）
9
（销售点5，销售点12）
13
（销售点5，销售点13）
8
（销售点5，路口2）
4
（销售点5，路口3）
7
（销售点5，路口10）
10
（销售点5，路口13）
15
（销售点6，销售点7）
8
（销售点6，销售点11）
13
（销售点6，路口14）
3
（销售点6，路口15）
14
（销售点7，路口7）
5
（销售点7路口8）
12
（销售点8，销售点9）
20
（销售点8，路口7）
3
（销售点8，路口8）
10
（销售点9，路口7）
4
（销售点10，路口7）
7
（销售点10，路口15）
3
（销售点11，销售点12）
7
（销售点11，销售点18）
5
（销售点11，路口2）
17
（销售点12，销售点13）
11
（销售点12，销售点17）
16
（销售点12，路口1）
5
（销售点13，销售点15）
15
（销售点13，路口1）
8
（销售点13，路口4）
11
（销售点13，路口13）
6
（销售点14，路口3）
2
（销售点14，路口13）
2
（销售点15，路口4）
2
（销售点15，路口11）
4
（销售点15，路口13）
2
（销售点16，销售点17）
3
（销售点16，销售点25）
4
（销售点16，销售点26）
7
（销售点16，路口1）
9
（销售点16，路口4）
3
（销售点17，销售点18）
11
（销售点17，销售点23）
5
（销售点17，销售点24）
18
（销售点17，路口1）
10
（销售点18，销售点22）
10
（销售点18，销售点23）
9
（销售点18，路口15）
2
（销售点19，销售点20）
10
（销售点19，销售点21）
8
（销售点19，销售点22）
7
（销售点19，路口15）
5
（销售点20，销售点21）
6
（销售点20，路口6）
4
（销售点21，销售点22）
4
（销售点21，销售点32）
7
（销售点21，路口6）
6
（销售点22，销售点23）
4
（销售点22，销售点31）
6
（销售点23，销售点24）
13
（销售点23，销售点31）
8
（销售点24，销售点25）
6
（销售点24，销售点29）
7
（销售点24，销售点30）
9
（销售点24，路口12）
11
（销售点25，销售点26）
4
销售点25，销售点28）
3
（销售点26，销售点27）
3
（销售点26，路口4）
4
（销售点26，路口11）
5
（销售点27，销售点28）
6
（销售点27，路口11）
6
（销售点28，销售点29）
5
（销售点29，路口12）
5
（销售点30，销售点31）
7
（销售点30，销售点35）
8
（销售点30，路口12）
6
（销售点31，销售点34 ）
5
（销售点32，销售点33 ）
6
（销售点32，路口6 ）
5
（销售点33，销售点34 ）
9
（销售点34，销售点35 ）
9
（销售点34，路口5 ）
2
（路口2，路口14 ）
10

二、问题的分析

会议筹备组要制定预订宾馆客房，租借会议室，租用客车的方案，需综合考虑经济、方便、代表满意等方面，即使租借客房的空房费用最少、租借会议室总费用最少和租用客车总费用最少，且各预定宾馆之间距离比较靠近；由附图知，③④⑩三个宾馆相对较分散，可不予考虑。
对客房预订方案问题，其优化目标为使空房费用最少，由于空房费与预定的客房数量有关，可将客房预订方案转化为以预订客房总数量最少为目标函数，以各宾馆的客房数量及价格与参加会议的代表数量为约束条件的线性规划模型，用LINGO软件计算出每个宾馆各种客房的预定间数及所需宾馆数量；其中参加会议的与会代表是一个未知的量，因为从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，所以可以根据前几届的会议代表回执和与会情况和本届回执中有关住房要求的数据进行预测，表1只给出了前四届相关数据，可用灰色理论的GM(1，1)模型进行预测，该方法在数据量较少的情况下预测结果较为准确。通过估算预测值中合住与独住人数，从而确定出单人间客房和双人间客房的预定数量。对会议室的租用问题，以租借总费用最少为目标函数，以总的可用会议室间数，可用会议室的租用价格，参加每个会议的人数为约束条件，建立线性规划模型。对客车租用问题，可由宾馆的入住人数和会议室地点的数据，使用线性规划模型求出租用客车费用最少情况下的客车租用方案。逐步优化模型，在参会代表满意的情况下，使筹备组所支付的总费用最小，最终制定出预订宾馆客房、租借会议室与租用客车的最优方案。

三、模型假设

1. 与会代表都在同一天登记住房；
2. 预测的与会代表中代表的住房比例与回执数据中人员的住房比例一致；
3. 租借的会议室在与会代表下榻的某几个宾馆中选取；
4. 与会代表距离其会议地点小于400米时不需要租用客车；
5. 预订宾馆时间按整天计算，租借会议室与租用汽车时间按半天计算；
6. 所有需要用客车接送的与会代表都在第⑧家宾馆门口下车，且中途不停车。

四、符号说明

1. ：各届会议发来回执的代表数量；
2. ：各届会议发来回执但未与会的代表数量；
3. ：各届会议未发回执而与会的代表数量；
4. ：七个宾馆中每种房间的预定间数；
5. ：每个宾馆中租用会议室的间数；
6. ：预订宾馆中的双人间中合住的房间数；
7. ：预订宾馆中的双人间中独住的房间数；
8. ：①，②，⑤，⑥四家宾馆中预定每一种车的辆数。

五、模型的建立与求解

5.1 测本届与会代表数量

以往几届会议代表回执和与会情况见表1.
表1：以往几届会议代表回执和与会情况

第一届
第二届
第三届
第四届
发来回执的代表数量（m）
315
356
408
711
发来回执但未与会的代表数量(n)
89
115
121
213
未发回执而与会的代表数量(v)
57
69
75
104

由表1可以计算每届会议发来回执但未与会的代表数量与发来回执的代表数量的比值，未发回执而与会的代表数量与发来回执的代表数量的比值见表2。
表2：各类代表数量在发回执代表数量中的比例

第一届
第二届
第三届
第四届
n/m

0.2825
0.3230
0.2966
0.2996
v/m
0.1810
0.1938
0.1838
0.1463

根据表2的相关数据，利用GM(1，1)预测模型预测第五届会议的数值并进行相关检验。
GM(1，1)预测模型的具体步骤如下：
设有原始时间数列，对其作一次累加生成运算，
即令
（1）
从而可得新的生成数列，新的生成数列一般近似地服从指数规律，因此它满足如下灰色预测的微分方程GM(1，1)，其白化形式为
（2）
其中为辨识参数。
为了估计参数，可以将式（2）进行离散化处理得
（3）
其中为生成数列在第时刻的累减生成，即
(4)
在灰色预测中，式（3）中的为在第时刻的背景值，一般取其均值生成，即
（5）
将式（4），（5）代入式（3）中，有
（6）
令 ，

则式（6）可简化为如下线性模型
(7)
由最小二乘估计方法得
(8)
式（8）估计出来的参数代入到式（2）的白化形式.
令则有，由分离变量法得其中为常数，
考虑到初值所以从而有
(9)
式（9）就是GM(1，1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得
(10)
对序列再作累减生成可进行预测。即

(11)
式（11）便是GM(1，1)模型的预测的具体计算式。
根据以上GM(1，1)模型的基本步骤，建立GM(1，1)预测模型。使用MATLAB软件进行计算。结果见表3（MATLAB计算程序见附录4）：
表3：由GM(1,1)模型预测的各类代表数量在发回执代表数量中的比例

第一届
第二届
第三届
第四届
第五届
n/m
0.2825
0.3183
0.3062
0.2945
0.2833
v/m
0.1810
0.1980
0.1735
0.1520
0.1331
并对GM(1，1)预测模型进行相关后验差检验。
GM(1，1)预测模型的检验步骤如下：
第一步 计算原始时间数列 的均值和方差
，
第二步 计算残差数列 的均值和方差
，
其中，为残差数列。
第三步 计算后验差比值

第四步 计算小误差频率

其中，为集合的个数。
第五步 根据表4，按照后验差值比和小误差频率判别预测精度等级。
表4：预测精度等级
等级

好

合格

勉强

不合格

如果后验差检查发现GM(1，1)模型预测精度等级为不合格，那么可以进行残差修正的GM(1，1)预测模型。
1） 对发来回执但未与会的代表数量与发来回执的代表数量的预测比值n/m进行后验差检验，可得：
，
2） 对未发回执而与会的代表数量与发来回执的代表数量的预测比值v/m进行后验差检验，可得：
，
对照表4，其预测精度等级均为好，所以由GM(1，1)预测模型得到的数据
较为准确。
经过统计本次会议共收到回执人数
，根据表3的数据可以预测本届会议的参会人数：

5.2预订宾馆客房数量

在以上预测的与会代表数量的基础上，利用附表2，可得回执人数=755，
预测本届参加会议的人数 ，根据假设2，可得合住1中的男士人数在预测与会代表总人数中的数量为：

同理可得预测的代表人数的住房信息（单位：人），如下表5所示：
表5：由预测的代表人数估算的代表住房信息

合住1
合住2
合住3
独住1
独住2
独住3
男
131
88
27
91
58
35
女
67
41
14
50
24
16

由于预定房间的最终目的是既要使与会代表满意，又要使筹备组支付的空房费最少，问题可以转化为预定房间数最少的问题，考虑到选择的宾馆数量要尽量少，并且距离上比较靠近，由附图可知，宾馆③，④，⑩相对比较分散，并且下余宾馆完全可以满足本次会议的房间需求，因此可以将上述宾馆排除在考虑的范围之外达到简化建模的目的。
可建立线性规划模型如下：
目标函数为：

约束条件为：
（1）与会代表住房要求限制：

（2）各个宾馆客房数量限制：

（3） 预定的双人间客房数量限制：由于一个人可单独住在一个双人间，所以预定的双人间数要大于代表要求合住的双人间数，小于最多需要的房间数

（4）双人间客房合住数量的限制：根据预测人数，双人间客房中合住的间数等于预测得到的住房信息中要求合住的人所需房间数：

（5）需要独住的代表所需房间数限制：由于一人可单独住一个双人间，所以独住代表所需的房间数等于部分双人间数和单人间数的总和：

（6）预定的双人间数量等于合住的与单住的双人间数量和，即：

（7）正整数约束：
为正整数；
为正整数；
为正整数；
（8）预定房间的最大量限制：

将上述模型输入LINGO软件，可得如下输出结果：
Objective value: 460.0000

Variable Value Reduced Cost
X11 0.000000 0.000000
X12 30.00000 0.000000
X13 7.000000 0.000000
X14 0.000000 0.000000
X21 36.00000 0.000000
X22 0.000000 0.000000
X23 30.00000 0.000000
X24 35.00000 0.000000
X51 35.00000 0.000000
X52 0.000000 0.000000
X53 0.000000 0.000000
X61 40.00000 0.000000
X62 0.000000 0.000000
X63 30.00000 0.000000
X64 30.00000 0.000000
X71 50.00000 0.000000
X72 40.00000 0.000000
X73 0.000000 0.000000
X81 0.000000 0.000000
X82 40.00000 0.000000
X83 45.00000 0.000000
X91 12.00000 0.000000
X92 0.000000 0.000000
X93 0.000000 0.000000
X94 0.000000 0.000000
最优解为
，最优值为，即最少预定的房间数为间。其中各个宾馆中预定房间的情况见表6：
表6：各个宾馆预定客房情况汇总表

合住1
合住2
合住3
独住1
独住2
独住3
宾馆①
0
24
0
0
13
0
宾馆②
0
30
0
36
35
0
宾馆⑤
0
0
0
35
0
0
宾馆⑥
0
0
30
40
30
0
宾馆⑦
50
0
0
40
0
0
宾馆⑧
40
0
0
0
45
0
宾馆⑨
0
0
12
0
0
0

5.3租借会议室方案

由于租借的会议室在与会代表下榻的某几个宾馆中选取，由5.1模型得出预测总
人数为642，由5.2模型得出会议室可能所在的宾馆为①②⑤⑥⑦⑧⑨，由于要选出六个会议室，所以租借会议室要在规模大于642/6=107人中选取，且使租借会议室总费用最小，建立线性规划模型。
目标函数为：

约束条件：
（1）可租借会议室间数约束：

，，，，，，，，， ， ，，， ，
（2）租用的会议室所能容纳人数限制：最终租用的会议室所能容纳的人数必须大于预测得到的人数，即

（3）正整数约束：

将以上模型输入LINDO软件求解，可以得到：
Objective value: 4800.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST
Y11 0.000000 1500.000000
Y12 0.000000 1200.000000
Y21 0.000000 1000.000000
Y22 0.000000 1500.000000
Y51 0.000000 1000.000000
Y52 0.000000 1500.000000
Y61 0.000000 1000.000000
Y62 0.000000 1200.000000
Y71 2.000000 800.000000
Y73 0.000000 1000.000000
Y81 0.000000 1000.000000
Y82 2.000000 800.000000
Y91 0.000000 1300.000000
Y92 2.000000 800.000000
Y93 0.000000 1200.000000
最优解为，最优值为，即在⑦，⑧，⑨
三个宾馆中各租借2间价格为（半天）的会议室，可使租借会议室总费用最小，且最小为4800元。

5.4租用客车的方案

由表6可知第①家宾馆居住61位代表，第②家宾馆居住131位代表，第⑤家宾馆居住35位代表，第⑥家宾馆居住130位代表，由于⑦，⑧，⑨三家宾馆中均租借有两间会议室，所以各个代表去每个宾馆参加会议的概率是相等的，其大小都为，在假设4的条件下，可得①，②，⑤，⑥三个宾馆中需坐车参加会议的人数分别为
，，，
分析可知目标函数是求租车总费用最小，即：

约束条件为：
（1） 每个地点派车数量的限制：即向每个地点派的客车所容纳人数不得小于此地点需坐车参加会议的代表数量

（2） 正整数约束：

将建立的线性规划模型输入LINGO软件进行求解，可得如下输出：
Objective value: 4600.000

Variable Value Reduced Cost
A1 1.000000 800.0000
A4 3.000000 800.0000
A7 0.000000 800.0000
A10 1.000000 800.0000
A2 0.000000 700.0000
A5 0.000000 700.0000
A8 0.000000 700.0000
A11 0.000000 700.0000
A3 0.000000 600.0000
A6 0.000000 600.0000
A9 1.000000 600.0000
A12 0.000000 600.0000
最优解为，最优值为，即租1辆45座的客车去第①家宾馆接送代表，租3辆45座的客车去第②家宾馆接送代表，租1辆33座的客车去第⑤家宾馆和租1辆45座的客车去第⑥家宾馆接送代表，才能使总租车费用最小，且最小为4600元。

六、模型评价

本模型的目的是会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案，经过分析，在合理的假设下，以筹备组总费用最少为目标，建立了一个GM(1，1)预测模型和三个线性规划模型，并运用MATLAB、LINGO和LINDO软件进行求解，得到较为理想的结果。
模型的优点：
（1）假设合理，充分考虑了时间和距离因素的影响，从而保证了模型的通用性。
（2）运用灰色预测模型并且进行了后验差检验，相比于运用其它模型得到的数据更精确。
模型的缺点：在数据处理和模型优化过程中，会带来误差。

参考文献
[1] 姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。
[2] 陈华友，组合预测方法有效性理论及其应用，北京：科学出版社，2007。
[3] 程依明、茆诗松、濮晓龙，概率论与数理统计教程，北京：高等教育出版社，2004。

附 录：
附录1：
附图（其中500等数字是两宾馆间距，单位为米）

⑤（与⑦间距300米） ⑦
⑦（与⑦间距300米） ⑦
⑧（与⑦间距300米） ⑦
①（与⑦间距300米） ⑦
②（与⑦间距300米） ⑦
④（与⑦间距300米） ⑦
③（与⑦间距300米） ⑦
1000
500
300
150
200
300
⑨（与⑦间距300米） ⑦
⑥（与⑦间距300米） ⑦
⑩（与⑦间距300米） ⑦
300
700
150

附录2：

附表2 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）

合住1
合住2
合住3
独住1
独住2
独住3
男
154
104
32
107
68
41
女
78
48
17
59
28
19
说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、161~200元、201~300元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合住一间。独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。

附录3：

附表1 10家备选宾馆的有关数据

宾馆代号
客房
会议室
规格
间数
价格（天）
规模
间数
价格(半天)

①
普通双标间
50
180元
200人
1
1500元
商务双标间
30
220元
150人
2
1200元
普通单人间
30
180元
60人
2
600元
商务单人间
20
220元

②
普通双标间
50
140元
130人
2
1000元
商务双标间
35
160元
180人
1
1500元
豪华双标间A
30
180元
45人
3
300元
豪华双标间B
35
200元
30人
3
300元

③
普通双标间
50
150元
200人
1
1200元
商务双标间
24
180元
100人
2
800元
普通单人间
27
150元
150人
1
1000元

60人
3
320元
④
普通双标间
50
140元
150人
2
900元
商务双标间
45
200元
50人
3
300元

⑤
普通双标间A
35
140元
150人
2
1000元
普通双标间B
35
160元
180人
1
1500元
豪华双标间
40
200元
50人
3
500元

⑥
普通单人间
40
160元
160人
1
1000元
普通双标间
40
170元
180人
1
1200元
商务单人间
30
180元

精品双人间
30
220元

⑦
普通双标间
50
150元
140人
2
800元
商务单人间
40
160元
60人
3
300元
商务套房（1床）
30
300元
200人
1
1000元

⑧
普通双标间A
40
180元
160人
1
1000元
普通双标间B
40
160元
130人
2
800元
高级单人间
45
180元

⑨
普通双人间
30
260元
160人
1
1300元
普通单人间
30
260元
120人
2
800元
豪华双人间
30
280元
200人
1
1200元
豪华单人间
30
280元

⑩
经济标准房（2床）
55
260元
180人
1
1500元
标准房（2床）
45
280元
140人
2
1000元

附录4：利用GM(1,1)模型预测人数的MATLAB程序及其结果：
程序1：
function y=gm13(x0) %灰色系统计算程序 包含预测与估计
x1=cumsum(x0);
B=[-1/2*