椭圆、双曲线、抛物线.doc

高三数学第一轮总复习讲义 讲义34 椭 圆
一、基本知识体系：
1、 椭圆的定义：①第一定义：|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2)Þ注意焦点三角形的应用；
②第二定义： =e (椭圆的焦半径公式：|PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0)
2、 椭圆的的方程：①焦点在x轴上的方程：（a>b>0）；
②焦点在y轴上的方程： （a>b>0）；
③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx2+ny2=1(m>0,n>0)
④、参数方程：
3、 椭圆的几何性质：

标准方程
（a>b>0）
（a>b>0）

简图

中心
O（0，0）
O（0，0）
顶点
（±a,0) (0,±b)
(0,±a) （±b,0)
焦点
(±c,0)
(0,±c)
离心率
e= (0 ⑤弦长公式：|AB|=；
⑥椭圆在点P（x0，y0)处的切线方程：;
5、 直线与椭圆的位置关系：凡涉及直线与椭圆的问题，通常设出直线与椭圆的方程，将二者联立，消去x或y，得到关于y或x的一元二次方程，再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，需要有较强的综合应用知识解题的能力。
6、 椭圆中的定点、定值及参数的取值范围问题：
①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法Þ是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法Þ是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。
③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法Þ根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）再得出参数的变化范围；第二种Þ是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。
二、典例剖析：
★【题1】、若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m=（ ）
A． B． C． D．
★【题2】、设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A B C D
★【题3】、点P（-3,1）在椭圆的左准线上.过点P且方向为=(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为:( )
（A） （B） (C) （D）

【题4】、如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．

三、巩固练习：
★9．(2007年湖南理科)设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）
A． B． C． D．
★【题1】、已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ C ）（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
★【题2】、椭圆的中心为点它的一个焦点为相应于焦点F的准线方程为则这个椭圆的方程是（D ）
（A）　（B） （C）　　（D）
解：椭圆的中心为点它的一个焦点为∴ 半焦距，相应于焦点F的准线方程为 ∴ ，，则这个椭圆的方程是，选D.
★【题3】、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（ B ） (A) (B) (C) (D)
解：不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B
★【题4】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的
标准方程是 ；
解：已知为所求；
★【题5】、如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点
作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则
________________;
★【题6】、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.
解：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3；
在Rt△PF1F2中故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2－c2=4,所以椭圆C的方程为＝1；(Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）；已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）；从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得
（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. 因为A，B关于点M对称； 所以
解得， 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0.显然，所求直线方程符合题意。
★【题7】在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于坐标原点，椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
（1）求圆的方程；（2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解:(1) 设圆C 的圆心为 (m，n) 则 解得
所求的圆的方程为； (2) 由已知可得 ； ； 椭圆的方程为 ；右焦点为 F( 4，0) ； 假设存在Q（x,y)，则有且（x-4)2+y2=16，解之可得y=3x，从而有点（, )存在。
★【题9】设椭圆上一点到左准线的距离为10，是该椭圆的左焦点，若点满足，则　　　　．答案为：2
★【题10】设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．

解Ⅰ）：由题设及，，不妨设点，其中，由于点在椭圆上，有， ，解得，从而得到，

过点作，垂足为，易知，故；由椭圆定义得，又，所以，
解得，而，得，即．（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组
的解．当时，由①式得代入②式，得，即，于是，

．若，则．
所以，．由，得．在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．另一方面，当时，可推出，从而．综上所述，使得所述命题成立．
★【题11】设F1、F2分别是曲线的左、右焦点.（Ⅰ）若P是第一象限内该曲线上的一点，，求点P的作标；（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.
（Ⅰ）易知，，．∴，．设．则
，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立∴
由；，，得．①
又为锐角，∴
又∴

∴．②综①②可知，∴的取值范围是．
★ 【题8】（2007年全国）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于B，D两点，过的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P．（Ⅰ）设P点的坐标为，证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．
解：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由；知点在以线段为直径的圆上，由于r=11)
2、双曲线的方程：①焦点在x轴上的方程：（a>0，b>0）；②焦点在y轴上的方程： （a>0，b>0）； ③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx2-ny2=1(m·n<0)
④、双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程.
8、 双曲线的几何性质：

标准方程
（a>0，b>0）
（a>0，b>0）

简图

中心
O（0，0）
O（0，0）
顶点
（±a,0)
(0,±a)
焦点
(±c,0)
(0,±c)
离心率
e= (e>1)
e= (e>1)
范围
x≥a或x≤-a
y≥a或y≤-a
准线方程
x=±
y=±

渐近线
y=±x
y=±x

焦半径
P(x0,y0)在右支上时：|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a; P(x0,y0)在左支上时：|PF1|= -ex0-a,|PF2|= -ex0+a;
P(x0,y0)在上支上时：|PF1|=ey0+a,|PF2|=ey0-a; P(x0,y0)在下支上时：|PF1|= -ey0-a,|PF2|= -ey0+a;
9、 几个概念：①焦准距：; ②通径：; ③等轴双曲线x2-y2=l (l∈R,l≠0)：渐近线是y=±x,离心率为：；④焦点三角形的面积：b2cot (其中∠F1PF2=q)；⑤弦长公式AB|=；⑥注意；椭圆中：c2=a2-b2,而在双曲线中:c2=a2+b2,
10、 直线与双曲线的位置关系：
讨论双曲线与直线的位置关系时通常有两种处理方法：①代数法：通常设出直线与双曲线的方程，将二者联立，消去x或y，得到关于y或x的一元二次方程，再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，：②、数形结合法。注意直线与双曲线有两个交点时，两交点可能在双曲线的一支上，也可能在两支上。
11、 双曲线中的定点、定值及参数的取值范围问题：
①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法Þ是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法Þ是直接推理、计算并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。
②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。
③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法Þ根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）再得出参数的变化范围；第二种Þ是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。
二、典例剖析：
★【题1】双曲线的渐近线方程是( C )
（A） （B） （C） （D）
★【题2】已知双曲线的焦点为、，点在双曲线上且轴，则到直线的距离为 ( C ) （A） （ B） （C） （D）
★【题3】已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且，则点到轴的距离为（ C ）A B C D
解：由,得MF1⊥MF2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上，且在x轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c2，即(ex)2+a2=2c2,∵a=1,b=,c=,e=,得x2=,y2=,由此可知M点到x轴的距离是,选(C)
★【题4】已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
解：设E是正三角形MF1F2的边MF1与双曲线的交点,则点E的坐标为(),代入双曲线方程,并将c=ae代入,整理得e4-8e2+4=0,由e>!,解得e=,选(D)
★【题5】若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。
★【题6】设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率.
解：双曲线的右焦点为(c, 0)，右准线与两条渐近线交于P()、()两点，∵ FP⊥FQ，∴ ，∴ a=b, 即双曲线的离心率e=.
★【题7】双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则（ A ）
A． B． C． D．
★【题8】若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则m=（ C）
(A) (B) (C) (D)
★【题9】已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( C ) A. B. C. 2 D.4
★【题10】过双曲线的左顶点作斜率为1的直线, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 且, 则双曲线的离心率是( A )
A． B． C． D．
★【题11】已知双曲线 － =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( )
A.2 B. C. D.
解：已知双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．
★【题12】已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( A )
（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）
解：双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A
★【题13】为双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（　B　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝8－1＝7
★ 【题14】已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）；
（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。
解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6；∴,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为
（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).
设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6

,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为
★【题15】已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
（A）　 （B） （C） （D）
解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C
★【题16】设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

解：（1）在中，；
；（小于的常数）；故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．方程为．
（2）、在中，设，，，．假设为等腰直角三角形，则；由②与③得，则由⑤得，；，；故存在满足题设条件．
高三数学第一轮总复习讲义 讲义36 抛 物 线
一、基本知识体系：
1、抛物线的定义： =e （其中e=1，注意：定点F不能在定直线L上）
2、抛物线的的标准方程和几何性质：
标准方程
y2=2px (p>0)
y2= -2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2= -2py (p>0)

图象

顶点
(0,0)
(0,0)
(0,0)
(0,0)
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
焦点
F（,0)
F（- ,0)
F（0,)
F（0,- )
准线
x=-
x=
y= -
y=

焦半径
+x0
-x0
+y0
-y0
离心率
e=1
e=1
e=1
e=1
3、几个概念： ① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数； ② 焦点的非零坐标是一次项系数的； ③方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。④通径：2p
二、典例剖析：
★【题1】、抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B )
（A） （B） （C） （D）0
★【题2】、．抛物线y2 = 2px(p＞0)上有A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点，F是它的焦点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则（A ） A．x1、x2、x3成等差数列 B．y1、y2、y3成等差数列
C．x1、x3、x2成等差数列 D．y1、y3、y2成等差数列
x
y
O
A
B
图4
★【题3】、在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点Ａ、Ｂ满足·=0（如图４所示）；（Ⅰ）求得重心（即三角形三条中线的交点）
的轨迹方程；（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）∵直线的斜率显然存在，∴设直线的方程为，
，依题意得： ，①
∴，②　 ③；又 ∵，∴，即 ，④
由③④得，，∴；∴则有直线的方程为
∴从而①可化为 ，∴ ⑤，不妨设的重心G为，则有
⑥ ， ⑦，
由⑥、⑦得： ，即，这就是得重心的轨迹方程．
（Ⅱ）由弦长公式得；把②⑤代入上式，得 ，设点到直线的距离为，则，∴ ，∴ 当，有最小值，∴的面积存在最小值，最小值是 ．
★【题4】、设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则（ B ）A．9 B．6 C．4 D．3
★【题5】、抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）
A． B． C． D．
解：设抛物线上一点为(m，－m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A.
★【题6】、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点，则的最小值是 32 .
解：显然³0，又＝4（）³8，当且仅当时取等号，所以所求的值为32。（注意联系均值不等式！）
★【题8】、①过抛物线y2=4x的焦点做直线L交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标是3,则|AB|=____(答案:8)
②抛物线y2=2px(p>0)焦点弦AB的两个端点的坐标是A(x1,y1),B(X2,y2),则之值是( B ) A 4 B -4 C p2 D –p2
③抛物线x2=4y的焦点F和点A(-1,8),P为抛物线上一点,则|PA|+|PF|最小值是(B )
A 6 B 9 C 12 D 16
④ 在③题中,若将条件改为A(3,1),其它不变,则是____(答案:3)
⑤直线y=2x+m与圆x2+y2=1相交于A,B两点,以x轴正半轴为始边,OA为终边(O为坐标原点)的角为a,OB为终边的角为b,则sin(ab)=____(答案:)
★【题9】、过直角坐标平面xoy中的抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点。（1）用P表示A，B之间的距离；（2）证明：∠AOB的大小是与P无关的定值，并求出这个值。
●解：（1）焦点F（1，0），过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程是y = x - ；
设点则有：
（2）由于cos∠AOB = =

∴的大小是与p关的定值，即=π-arccos
★【题10】、已知抛物线y2=2(x+)的焦点为F，准线为l，试判断：是否存在同时满足以下两个条件的双曲线C：（1）双曲线C的一个焦点是F，相应F的准线为l；（2）直线m垂直于x－y=0，双曲线C截直线m所得的线段的长为2，并且截得线段的中点恰好在直线x－y=0上；若存在，求出这条双曲线的方程；若不存在，说明理由.
●解：∵y2=2(x+)；∴焦点为F（0，0），准线l：x=－1；设双曲线C存在，其离心率为e，点（x,y)为双曲线C上任意一点，由条件=e,得：（1－e2）x2+y2－2e2x－e2=0；又设与x－y=0垂直的直线m为y=－x+b,则双曲线C应与m有两个交点，设为A（x1,y1）、B(x2,y2),且|AB|=2.
由
得(2－e2)x2－2(e2+b)x+b2－e2=0.
则 (*) 成立，且x1+x2=,x1x2=；又|AB|=2，所以2［()2－4()］=8；所以=1.①；又AB的中点M（）在直线x－y=0上，∴.②；由①、②解得
此时（*）成立，所以满足条件的双曲线C存在，其方程为3x2－y2+8x+4=0.
★【题11】已知AB是抛物线x2=2py(p＞0)的任一弦，F为抛物线的焦点，L为准线.m为过A点且以=(0,-1)为方向向量的直线.①若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点，求证：|AF|=|CF|；②若·+p2=0（A，B异于原点），直线OB与m相交于点P，试求P点的轨迹方程；③若AB为焦点弦，分别过A，B点的抛线物的两条切线相交于点T，求证：AT⊥BT且T点在L上. ●解：（1）如图，设A（x1,y1）,则直线m为：x=x1, 又∵y′= ∴kAC=，于是AC的方程为：y-y1=(x-x1),即y=x-y1.令x=0,得y=-y1,即C（0,-y1）.由定义，|AF|=y1+,又|CF|=-(-y1)=y1+, 故|AF|=|CF|.（2）设A（x1,y1）,B(x2,y2),P(x,y)； ·+p2=0Þx1x2+y1y2+p2=0Þx1x2+ +p2=0； ∴x1x2=-2p2. 直线OB的方程：y= ①；又直线m的方程：x=x1 ②
①×②：xy= ∵x≠0,∴y=-p.故P点的轨迹方程为y=-p.
（3）设A（x1,y1）,B(x2,y2),T(x0,y0). 则kAT=由于AB是焦点弦，可设AB的方程为:y=kx+代入x2=2py，得：x2-2pkx-p2=0；∴x1x2=-p2,于是kAT·kBT=故AT⊥BT.
由（1）知，AT的方程：y=∴y0=，即x0x1-py1=py0,同理：
x0x2-py2=py0.∴AB的方程为：x0x-py=py0，又∵AB过焦点，∴-即y0=-,故T点在准线l上.t
★【题12】、如图，过抛物线x2=2y的准线上任一点P，做抛物线的两条切线，切点分别为A、B，抛物线的焦点为F，试推断是否存在常数l，使得·=l||2成立，若存在，求出l的值，若不存在，请说明理由。
●解；设点A（x1,),B(x2, ),∵y′=x,∴切线PA方程为；y- = x1(x- x1),即y= x1x- ；同理有切线PB方程为y= x2x-；联立两方程解得点P（，），由于点P在准线y=上，则有x1x2=-1；又焦点F（0，），∴=（x1,），=（x2 ,），点P（，），∴·= x1x2+（x12-1）（x22-1）= -1- （x1+ x2）2，又=（，-1），∴||2=（x1+ x2）2+1，从而有·=-||2，故存在l=-1满足题设条件。