广东省东莞市2012-2013学年度第一学期高三调研测试理科数学试卷.doc

广东省东莞市2012-2013学年度第—学期高三调研测试
理科数学
考生注意：本卷共三大题，满分150分，时问120分钟．不准使用计算器
参考公式：若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题各有四个选择支，仅有一
个选择支正确．请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）
1．若a实数，，则a等于
A．2 B．-1 C．1 D．-2
2．若函数，则是
A．最小正周期为的奇函数 　B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 　 D．最小正周期为的偶函数
3．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n
个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50)
（单　位：元），其中支出在（单位：元）的同学
有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n的值为
　A．100 　 B．120 C．130 D．390
4．等差数列中，,,则该数列前n项
和取得最小值时n的值是
A．4 B．5 C．6 D．7
5．设m、n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则的—个充分条件是
A．m//n,//, B．,//,//m
　 C．m//n，, // D．,,
6．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，采取3局2胜制(即3局内谁先赢2局就算胜出，比赛结束，每局比赛没有平局，每局甲获胜的概率为，则比赛打完3局且甲取胜的概率为
A． B． C． D．
7．2012翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，某翼人
空中高速飞行，右图反映了他从某时刻开始的15
分钟内的速度与时间x的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像是

８．设集合，在上定义运算：，其中为被3除的余数，，则使关系式成立的有序数对总共有
A．１对　　　　B．２对　　　　C．３对　　　　D．４对

９．已知函数的定义域为Ｍ，的定义域为Ｎ，
则＝　　　．
10．已知变量x,y满足则的最小值是 。
11．如右图所示的算法流程图中，第3个输出的数是 。
12．已知实数，，，，为坐标平面　　　　　　　　　　　上的三点，若，则ab的最大值为 。
13．设，则二项式的展开式中常数项是 。
（二）选做题（第14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，圆C的参数议程是（ 为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C的极坐标是 。
15．（几何证明选讲选做题）如图，四边形内接于，
AB为的直径，直线MN切于点D，，
则= 。
三．解答题（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分12分）
设函数，在△ABC中，角A、Ｂ、Ｃ的对边分别为a,b,c
(1)求的最大值；
(2)若,,,求A和a。
17．（本小题满分12分）
某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参一项培训、参加两项培训或不参加培．现知垒市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率；
(2)任选3名教师，记为3人中选择不参加培训的人数，求的分布列和期望．
18．（本小题满分14分）
如图,几何体SABC的底面是由以AC为直径的半圆O与△ABC组成的平面图形，平面ABC,,SA =SB=SC=A C=4,BC=2.
(l)求直线SB与平面SAC所威角的正弦值；
(2)求几何体SABC的正视图中的面积；
(3)试探究在圆弧AC上是否存在一点P，使得，若存在，说明点P的位置并
证明；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分14分）
某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生一些次 品，根据经验知道，次品数P（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：

已知每生产l万件合格的元件可以盈利2万元，但每生产l万件次品将亏损1万元．（利润=盈利一亏损）
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润T(万元)表示为日产量x（万件）的函数；
(2)当工厂将这种仪器的元件的日产量x定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？
20．（本小题满分14分）
已知函数（e是自然对数的底数，e=2.71828……）
(1)若k=e，求函数的极值；
(2)若，求函数的单调区间；
(3)若，讨论函数在上的零点个数．
21．（本小题满分14分）
设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意。都有
,,. (e是自然对数的底数，e=2.71828……）
(1)求数列、的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

2012-2013学年度第一学期高三调研测试
理科数学参考答案
一、选择题（每小题5分，满分40分.）
题号

1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
A
B
C
B
D
C
二、填空题（每小题5分，满分30分．）
9． 10．2 11．7 12. 13. 14． 15.
三、解答题（本大题共6小题，满分80分.）
16.（本小题满分12分）
解：（1）因为
…………1分
…………3分
. …………4分
所以，当，即，时，取得最
大值， …………5分
其最大值为. …………6分
（2）由得，，即. …………7分
在中，因为，所以.
又， 所以，. …………9分
又因为，所以. …………10分
在△中，由及，得
. …………12分

17．（本小题满分12分）
解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，
由题设知，事件与相互独立，且，． …………1分（1）任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是
． …………4分
（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是
． …………5分
因为每个人的选择是相互独立的，
所以3人中选择不参加培训的人数服从二项分布， …………6分
且
，， …………8分
即的分布列是

0
1
2
3

0.729
0. 243
0.027
0.001
…………10分
所以，的期望是． …………12分
（或的期望是．）

18. （本小题满分14分） A
B
C
O
S
H

解：（1）过点作于点，连接. …………1分
因为，，
所以. …………2分
又因为，，
所以，
即就是直线与平面所成角. …………3分
在中，因为，，，
所以，. …………4分
在中，因为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为. …………5分
（2）由（1）知，几何体的正视图中，的边，
而，所以. …………6分
又的边上的高等于几何体中的长，而，所以， …………7分
所以. …………8分
A
B
C
O
S
M
P
（3）存在. …………9分
证明如下：
如图，连接并延长交弧于点，
在底面内，过点作交弧于点. ………10分 所以.
而，所以. …………11分 又因为，，
所以，从而. …………12分
又因为所以有，所以 ，， …………13分
即点位于弧的三等分的位置，且. …………14分

19．（本小题满分14分）
解：（1）当时，合格的元件数为， …………1分
利润； …………3分当时，合格的元件数为， …………4分
利润， …………6分

综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润
…………7分
（2）当时，
,对称轴，此时利润的最大值. …………9分
当时，
， …………10分
所以在上是减函数， …………11分
此时利润的最大值， …………12分
综上所述，当时，取最大值2, …………13分
即当日产量定为2（万件）时，工厂可获得最大利润2万元. …………14分

20．（本小题满分14分）
解：（1）由得，所以． …………1分
令，得，解得．
由得，由得，
当变化时，、的变化情况如下表：

1

0
+

单调递减
极小值
单调递增
…………2分
所以当=1时，有极小值为0，无极大值． …………3分
（2）由，得．
①当时，则对恒成立，
此时的单调递增，递增区间为． …………4分
②当时，
由得到，
由得到，
所以，时，的单调递增区间是；递减区间是． …………6分
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间是；递减区间是． ………7分
（3）解法一：
①当时，，对恒成立，所以函数在上无零点．………8分
②当时，由（2）知，对恒成立，函数在上单调递增，
又， …………9分
所以函数在上只有一个零点． …………10分
（若说明取绝对值很大的负数时，小于零给1分）
③当时，令，得，且在上单调递减，在 上单调递增，在时取得极小值，即在上最多存在两个零点．
（ⅰ）若函数在上有2个零点，则，解得；…11分
（ⅱ）若函数在上有1个零点，则或，解得或； …………12分
（ⅲ）若函数在上没有零点，则或，解得 ． …………13分
综上所述， 当时，在上有2个零点；
当或时，在上有1个零点；
当时，在上无零点． …………14分
解法二：
．
当时，对恒成立，所以函数在上无零点．………8分
y=ex
y=kx
y
x
0
图1
当时，在上的零点就
是方程在上的解，即函数
与在上的交点的横坐标． …………9分
①当时，如图1，函数与只在上
有一个交点，即函数在上有一个零点． …………10分
y=ex
y=kx
y
x
0
图2
4

②当时，
若相切时，如图2，设切点坐标为
，则 即切线的斜率是
所以，解得，
即当时，只有一个交点,
函数 在上只有一个零点；…………11分
由此，还可以知道，当时，函数在上无零点． …………12分
y=ex
y=kx
y
x
0
图3
4

当过点时，如图3，，
所以时，在上
有两个交点，即函数在上有两个零点；
时，在上只有一个
交点，即函数在上只有一个零点． …………13分
综上所述，当时，函数在上有2个零点；
当或时，函数在上有1个零点；
当时，函数在上无零点． …………14分

21．（本小题满分14分）
解：（1）因为，，①
当时，，解得； …………1分
当时，有，②
由①-②得，（）.
而，所以（），即数列是等差数列，且. …………2分
又因为，且，取自然对数得，由此可知数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以， ………4分
所以. …………5分
（2）由（1）知，， …………6分
所以，③
，④
由③-④得， …………7分
所以. …………8分 （3）由，得，
由可得
，
即使得对于任意且，不等式恒成立等价于使得对于
任意且，不等式恒成立. …………10分
. …………11分
（或用导数求在上的最大值.）
令，由可得
，化简得：，
解得,所以当时，取最小值，最小值为,…………13分
所以时，原不等式恒成立. …………14分