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费马原理与目的论
李哲然（103079 机械电子）
在大学物理中，费马原理具有特殊的地位，它是几何光学中最普遍的基本原理。费马以光程的概念，高度概括地把三个几何光学的实验定律归结为一个统一的原理。本文主要从三个方面对费马原理进行阐述：概念，应用以及哲学意义。
一，费马原理的概念释疑。
费马原理是一条十分令人着迷的原理，从它可以推导出光的直线传播定律、反射定律和折射定律，几乎包含了几何光学的全部内容。然而，对于这个原理，很多人都存在着或多或少的误解，这是由于费马原理表述有误造成的。
1，错误说法。
百度百科中，费马原理的定义是：光波在两点之间传递时，自动选取费时最少的路径，这是一种常见错误，看下图就知道了。

从A发出的光线，经过平面镜的反射到达B点，这条光线必然是可以真实存在的。可是这不是光程最短路径，从A发出直接到达B的光线光程更短。所以这一定义式错误的。费马原理其实是个局域性的原理，所研究的都是真实存在的光线。
但如果费马原理表述成：过两个定点的光总走光程极小的路径。这还是错了。光程取极小值只是一种常见情形，也存在其他情形。
首先举一个光程是定值的例子，如下图的椭圆形反射镜。

从椭圆的一个焦点A出发的光线，经过椭圆形镜子上任意一点的反射，一定会汇聚到另一个焦点B。这是由椭圆性质确定的。在这个例子当中，任何一条真实光线都不是极小值了，因为不管反射点是椭圆上的哪个点，光程都是定值（是椭圆的定义：到两定点的距离之和为常值的点的轨迹）。
那如果费马原理表述成：过两个定点的光总走光程为极大值、极小值或者定值的路径，是不是就正确了呢？这是物理专业课本中的表述，但仍然不够准确。仍以上图为例，说黑色光线取了极大值，其实是不准确的。因为只要本该是直线的光线稍微一弯曲，光程就会变得更长，从这个角度来讲，这又是一种极小值了。所以单说它是极大值还是极小值都不够准确。理解这种既极大又极小的函数也很简单，看看双曲抛物面的形状就可以了。

上图的P点，就既是极大值点又是极小值点（也可以说它二者都不是而费马原理中的光程，往往和这种情形类似。
2，正确描述。
综上所述，费马原理将被叙述得很长。但其实在数学上有一种表述方法既准确又精炼，那就是：过两个定点的光走且仅走光程的一阶变分为零的路径。
二，费马原理的应用。
在光学教材中，都有着用费马定理推导几何光学三定律的证明。此处不再赘述，选用两道费马原理在其他领域的应用例子。
 1， 给出一个点A，给出两个圆O1、O2，再给定O1上的一点B，问O2上是否存在一点C，使得B点的位置恰好能让AB+BC达到最小，也即对于O1上异于B的任一点B'都有AB'+B'C > AB+BC。

你一时间可能找不到这个点C，这很正常，但光可以立即找到这个点C。因为从Fermat原理的角度看，光的思维方式是“逆向”的，这个别扭的题目正好顺应了它的思维方式。只要沿AB发射一条光线，在圆O1表面上发生反射后的光线与O2的交点即为点C。因为，A->B->C这条光路符合光的传播性质，这条路径是所有经过O1上一点到C的路径中最短的一条，其它所有的B'都会使光程增加。

2，在已知锐角三角形ABC内求一点P，使得PA+PB+PC最小。可以证明，这个点是存在的，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。他还指出，若分别以AB、BC、AC为边向外作等边三角形ABC'、BCA'、ACB'，则AA'、BB'、CC'三线共点，交点即为所求的点P。,这个定理有很多种证明，这里我们先介绍一种比较简单的证明方法。

下面分步进行解答：
（1）考虑三角形内任一点P，将△ABP绕点B旋转60°得到△C'BP'。
（2）显然，△BPP'是等边三角形，PB=P'P；同时，PA也转移到了C'P'，于是PA+PB+PC=C'P'+P'P+PC，P点到三个顶点的距离和转换为了一条从C'到C的折线段。
（3）注意C'的位置是和P无关的（C'AB始终成等边三角形），因此折线段C'P'PC的长度的最小值即为CC'的长度。
（4）这个最小值是可以达到的，即P和P'可以恰好落在CC'上。如果点P在CC'上且∠APB=120°，则旋转之后∠C'P'B也等于120°，正好与∠BP'P组成一个平角，于是C'、P'、P、C四个点都在一条直线上，C'P'+P'P+PC达到最小。
这个点就是我们要求的点F。注意这个点F满足以下两条性质：
（1）在等边三角形顶点C'与原三角形顶点C的连线上，对AB张角为120°。
（2）由对称性，∠BFC和∠CFA也都等于120°，且点F同时也在BB'和CC'上。这也说明了为什么AA'、BB'、CC'三线共点。
值得注意的是，在整个证明过程中，我们可以发现，CC'之间显然只有一条直线存在，所以，F点是唯一存在的。∠APB=∠BPC=∠CPA=120°是唯一可能存在的情况，至此，命题完全得证。

     这个题目真正有趣的地方在于，它有一个非常简单的物理解法。我们可以用费马原理来说明，为什么点F满足∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。假设我们固定AF的长度，那么F点的轨迹是一个以A为圆心的圆。当BF+FC达到最小时，路径B->F->C必然符合光的传播性质，反射点F满足入射角等于反射角，也就是说AF的延长线（即法线）平分∠BFC。同样地，固定BF的长度，则要想AF+FC最小，BF的延长线必须平分∠AFC。类似地，还有CF的延长线平分∠AFB。只有上述三个角平分关系同时成立时，AF+BF+CF才能达到最小，否则我总可以调整它们间的角度使其变得更优。再加上对顶角相等，我们立即看到，右图中所有这6个角全都等于60°。这样，我们就得到了先前证明的结论：存在点F使得它到A、B、C的距离和最小，此时∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。

     上面的这个问题有一个扩展，叫做广义Fermat点问题。考虑平面上n个点A1, A2, ..., An，每个点都有一个权值W1, W2, ..., Wn，广义Fermat点是这样的一个点P，它使得ΣPAi*Wi达到最小。广义Fermat点更具一般性，有非常高的实用价值。比如，城区里有n个住宅区，第i个住宅区里有Wi个人，问邮局设在哪里可以使所有人到邮局的总路程最短。目前，广义Fermat点问题还没有一般结论，但它可以通过力学模拟法完美解决。我们可以用力学模拟法说明，这个广义Fermat点是唯一存在的。事实上，我们可以建立力学模型找出这个点来。

     取一块木板，在木板上标出n个点所在的位置，各钻一个小孔。再找n条同样长的细绳，把所有绳子的其中一头扎结于一点；第i根绳子从木板上点Ai处的小孔穿过去，绳子另一头系上一个重Wi的砝码。所有准备工作就绪后，把木板水平悬在空中，此力学系统平衡后绳结所在的位置即为所求的点P。这是为什么呢？
     道理很简单。重物悬挂的位置有尽可能往低处走的趋向，此时重力势能转化为动能；当整个系统静止时，势能应该达到最小。假如我们用Hi来表示静止时第i个砝码离地面的距离，那么此时ΣHi*Wi达到最小。由于木板与地板之间的距离一定，因此ΣLi*Wi达到最大。又由于绳长为定值，所以ΣPAi*Wi达到最小。

三，费马原理与目的论。
目的论是古自然观的重要内容，也就是按照某种目的或结果来解释事物的学说，它要求对事物的圆满解释不仅要考虑到物质因和动力因，同时也应考虑到其终极原因即事物产生和存在的目的。
原始的目的论是带有极重的超自然思想的，所有事物都被赋予了人格，在古代以亚里士多德目的论是占有一席之地的。不过在伽利略和牛顿等人的工作确立了新的科学范式之后，古老的目的论就被可用数学方式描述的机械论所彻底取代了。新的自然观是：一切自然事物大至天体小至微粒，它们的结构和运动都井然有序合乎规律，完全不再需要什么既定的目的。这样构成万物的微粒的大小形状以及运动、位置和排列从充满生机的目的论方式变成了按照冷峻的严格的规律行事的决定论方式，一切运动变化都服从牛顿定律。所以普律高津讲：“近代自然科学诞生的标志是抛弃活力论刺激，特别是亚里士多德的最终原因。”
可是随着科学的发展，牛顿力学关于初始状态的敏感性，气体多分子复杂体系的的随机性以及量子力学本质上的不确定性，这三点认识的不断加深，机械决定论被打破，目的论也有了新的含义。比如在在费马原理中，我们应当注意当一个这样的特征，光有这种神奇的本领：不管之前有过多少反射点，有过多少折射点，这条光线今后传播到的每一个点都满足这种无比别扭的“以它为终点则前面的定点均已达到最优”的性质。
这是有悖于我们日常生活中的常识的，我们对于物理学的直觉是因果论的，因为A，所以B。而光在在费马原理中，似乎有了拟人化性质，能自己选取最佳路径，成为了目的论的,为了A，所以B。为了走变分为零的路径，所以这么走。无独有偶，力学里的最小作用原理指出：保守的完整体系的实际路径，是具有相同总能量且在位形空间中具有相同端点的所有可能路径中能使作用量积分取极值的那条路径。
因此，费马原理折射出了一个重要的哲学命题。因果论与目的论的关系。这类物理事实令费曼曾十分震惊：“粒子真的不仅仅能选取那正确路线，而且还会审查所有其它的各种可能路线吗？…当然，一切令人惊奇之处就在于，事情恰恰是这样。”费曼不仅相信了，还将这种思想成功地用于量子力学的研究，开创了路径积分的量子力学计算方式。事实上例题1就注重反映费马原理关于目的论的特性，例题2就注重反映费马原理与最小作用量原理在某种程度上的的相似性。
事实上，这也只是在最小作用原理上体现的目的性。一下还有两种其它物理上的目的性存在。
1，惯性的目的性
任何物体都具有惯性，惯性大小反映物体维持自身状态不变的本领的大小。惯性是物体固有的，这意味着物体自身具有明确的趋向性，原来的状态对物体而言就象一个吸引子一样。
2，反作用具有目的性
有作用，一定存在反作用。一物体在外界作用不足以使其丧失稳定性而解体前提下，物体将以反作用抵制反抗外界作用。物体在受外界作用时对外界的这种反应，换个角度就是物体以反作用形式维持自身存在，具有绝对的目的性。即反作用的存在能够改变外界从而影响外界进一步对物体的作用，达到维持原状态的目的。否则，若不存在反作用，则外界将不会改变它对物体的作用方式和强度，物体对外界作用无条件地听之任之，毫无反应，必须造成物体自身无限制地被破坏被改变，直到解体。这电磁学中有楞次定律，化学中有勒沙特列定律，都在反映着这一特征。
由上面的事例不难看出，其实很难说哪个纯正物理系统没有目的性。这在系统科学看来是非常自然的。系统学中就认为目的性就是“寻的性”、“预决性”。系统以追求有序稳定结构为目标的特性就是系统目的性，它与整体性、结构性、层次性、开放性等一起成为系统的一般特性。纯正物理系统虽然比较简单，但它仍是系统而不是非系统。只有绝对不可分的单元以及绝对堆积物才是非系统，而事实上不存在非系统。既然纯正物理系统仍是系统，它就理应具有作为系统的基本属性的目的性。
对于目的论的对错，我们可以考虑一个这样的文明。他们基本的生活常识不是因果论的，而是目的论的。他们的物理定律都是以目的论的形式存在的。这似乎是难以想象的，但这并不是是说这样的文明形式不可能存在，只是我们已经适应了因果论的是思维方式，无法理解这种思维方式而已。就像一个生活在二维空间的生物是无法想象三维空间是如何存在的。我们同样无法直观的想象出四维空间的存在。事实上，我们是无法证明因果论的正确或是目的论的错误。
首先，我们承认这个世界是规则的，但我们要注意到，对于每一个规则，我们都需要一个规则去告诉我们怎么运用它。由此就可以发现一个无穷的规则序列，对于规则A，我们需要规则B，对于规则B，我们需要规则C，由此无穷无尽下去，我们生活在这个世界上，就需要无穷多个规则。但我们的日常生活经验明确的告诉了我们，这是错误的。原因也很简单，我们是现实的生活在这个世界上的，我们的大脑虽然还有很多奥秘值得去探究，但不能否认，我们的大脑从物理上是遵循物理法则的，真实的反应了世界的规律。这也一定会反应到我们的思维活动上。那么，作为这个世界基本规律的因果论或是目的论，是怎么体现出来的并怎么作用的呢？很遗憾，这是没有人能做出明确回答的。我们甚至不知道，目的论和因果论能否共存，在科学哲学的范围内可谓是百家争鸣，现在没有绝对正确的回答，甚至可能如同唯心或唯物主义的争辩成为一个永恒的话题伴随着人类文明的发展继续下去。

参考文献
[1].赵凯华，陈熙谋 《新概念物理教程——光学》高等教育出版社 2004.1
[2].H.赖欣巴哈 《科学哲学的兴起》 商务印书社 2007.4
[3].matrix67:my blog
[4]. 厚宇德 纯正物理系统的目的性 佳木斯大学学报·自然科学版2001.3
[5]宇宙的心弦