黄岗中学高考数学二轮复习考点解析10：三角证明与计算的综合考查20081020_3924882_.doc

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湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析10：三角证明与计算的综合考查
【考点聚焦】
考点1：同角的三角函数关系式；
考点2：诱导公式；
考点3：和、差、倍角公式
考点4：正弦定理、余弦定理、面积公式。
【考题形式】与倍角公式有关的计算与证明。
【考点小测】
1.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为
解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°==－．
2．已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30º)的值为 　－1　
3.如果＝，且是第四象限的角，那么＝
解：已知；　
4.已知∈(,)，sin=,则tan()=
解：由则，=，。
5 已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=_____ _

6 设α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=______
7. 已知=2，则= ；；= 。
解：（I）∵ tan=2, ∴ ;
所以=；
（II）由(I), tanα=－, 所以==.
8.（江苏卷）＝　　
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值
解：

【典型考例】
【问题1】“拆项”与“添项”巧凑“和角、差角”公式
★例1★（1）=；（2）=
★例2★已知：，求：的值.
点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.
【问题2】弦切互化
★ 例3★ P44例1 ★例4★ P44例2
P46T5（安徽卷）已知 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值。
解：(Ⅰ)由，得，所以＝。
（Ⅱ）∵，∴。
【问题3】与对偶互化
★例5★已知. （I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值.
思路分析：将sinx-cosx=平方，求出sinxcosx的值，进而求出（sinx-cosx）2，然后由角的范围确定sinx-cosx的符号.
解法一：（Ⅰ）由
即
又 故
（Ⅱ）

①②
解法二：（Ⅰ）联立方程
由①得将其代入②，整理得

故
（Ⅱ）

点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.
★例6★：已知.
解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得
，　　即 ①
由题设条件，应用二倍角余弦公式得

故 ②
由①式和②式得 .因此，，由两角和的正切公式

解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得
解得 由
由于，故在第二象限，于是.
从而，以下同解法一.
【问题4】向量与三角小综合
★例7★已知向量，
求的值.
解法一：

由已知，得 又　
所以
解法二：

由已知，得

★例7★．已知是三角形三内角，向量，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求.
解：（Ⅰ）∵ ∴
即,
∵ ∴ ∴
（Ⅱ）由题知，整理得
∴ ∴ ∴或
而使，舍去 ∴
∴
★例9★．已知向量，
(1) 求的值；(2)若的值。
解：(1)因为所以
又因为，所以，
即；
(2) ，又因为，所以 ，
，所以，所以
★例10★．平面直角坐标系有点求向量和的夹角的余弦用表示的函数；求的最值.
解：（1）
，

即
（2） ， 又 ，
， ， .
【问题6】函数与三角小综合
★例11★已知函数其中为参数，且 （I）当时，判断函数是否有极值；（II）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（III）若对（II）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。
解：本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力。满分12分。
（I）解：当时则在内是增函数，故无极值。
（II）解：令 得
由及（I），只需考虑的情况。
当变化时，的符号及的变化情况如下表：

0

＋
0
－
0
＋

极大值

极小值

因此，函数在处取得极小值且
要使必有可得所以
（III）解：由（II）知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组
　　　或
由（II），参数时，要使不等式关于参数恒成立，必有 综上，解得或所以的取值范围是
课后训练
一、选择题：
1．设函数图象的一条对称轴方程为, 则直线的倾斜角为
A. 　 B. C. D.
2．已知，那么 A. B. C. D.
3．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数，②对任意实数x，都有f()= f()，则f(x)的解析式可以是 A．f(x)=cosx　　B．f(x)=cos(2x)　　C．f(x)=sin(4x)　　D．f(x) =cos6x
4．把函数的图象沿向量的方向平移后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是 A． B． C． D．
5．在内，使成立的的取值范围是
（A）()　（B）() （C）（）　（D）()
6．函数y=cosx（sinx+cosx）的最小正周期为 A B C D
7．如果，且，那么A. B. C. D.
8．已知sin(－x)＝，则sin2x的值为（ ）A. B. C. D.
9．函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)的图像关于点（5，0）对称，则θ的值是（ ）
A.－－10 B.－－5 C.2kπ－－10 D. kπ－－5 （k∈Z）
10．已知向量，（O为原点，），则向量的长度的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
11．曲线和直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则等于 A． B．2 C．3 D．4
12．已知中，分别为角所对的边，且，，
，则的面积为（A） （B）（C） （D）
二、填空题：
13．的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角=
14．对于函数＝ （）， 则它的值域为 ;
15．已知sinα＝，cos(α＋β)＝－，α、β∈（0，），则sin2β的值为 。
16．定义运算为：例如，,则函数的值域为 ．
三、解答题：
1．已知，求（1）；（2）的值.
解：（1）；
(2)
.
2．(上海卷)已知是第一象限的角，且，求的值。
解：=
由已知可得sin, ∴原式=.
3．已知点A(2，0)，B(0，2)，C(cos，sin)，且0<<。
(1)若，求与的夹角；(2)若，求tan的值。
解：∵(1)， ∴
又，∴ 又，∴与的夹角为.(5分)
(2) ，∵，∴
∴ ∴∴ ∵ ∴
又由及得
由①②，∴。
4．已知A (3，0)，B (0，3)，C①若=－1,求的值；
②若,且∈(0,),求与的夹角.
解答:(1)=(－3),=(,－3),∴由·=－1,
得(－3)+(－3)=－1,∴+=,两边平方,得1+=,∴=－
(2)=(3+,),∴(3+)2+=13, ∴=,∵∈(0,π),
∴==, ∴,
设与的夹角为,则=,∴　=即为所求.
5．已知向量，．（Ⅰ）当，且时，求的值； （Ⅱ）当，且∥时，求的值．
解：（Ⅰ）当时，， ， 由， 得，
上式两边平方得，因此，．
（Ⅱ）当时，，由∥得 ．
即． ，或 ．
6.（安徽卷）已知（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值。
解：(Ⅰ)由得，即，
又，所以为所求。
（Ⅱ）=
===。
7．（北京卷）已知函数， （Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值.
解：（1）依题意，有cosx¹0，解得x¹kp＋，即的定义域为｛x|xÎR，且x¹kp＋，kÎZ｝
（2）＝－2sinx＋2cosx\＝－2sina＋2cosa
由是第四象限的角，且可得sina＝－，cosa＝\＝－2sina＋2cosa＝
8. （天津卷）已知，．求和的值．
本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。
解法一：由得则
因为所以

解法二：由得
解得或由已知故舍去得
因此，那么
且
故

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