一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.doc

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
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一、
二、
一、选择题
1. B【05资阳】若关于x的方程x2+2(k-1)x+k2=0有实数根，则k的取值范围是
A. B. C. D. k≥
2.A【05杭州】若是一元二次方程的根,则判别式和完全平方式的关系是:
(A) (B) (C) (D)大小关系不能确定
3．A【05嘉兴】已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A.a≤1 B. a<1 C. a≤-1 D. a≥1
4.D【05台州】下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
5.A【05台州】若、是一元二次方程的两根，则的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6.A【05温州】已知x1、x2是方程x2－3x＋1＝0的两个实数根，则的值是( )
A、3 B、－3 C、 D、1
7. D【05武汉】不解方程，判别方程5-7x+5=0的根的情况是（     ）.
（A）有两个相等的实数根    （B）有两个不相等的实数根
（C）只有一个实数根   （D）没有实数根

8.C【05常德】已知方程x2+(2k+1)x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，k的取值是（ ）
A．－3或1 B．－3 C．1 D．3
9.A【05连云港】满足“两实数根之和等于3”的一个方程是
（A） （B）
（C） （D）
10.B【05无锡】一元二次方程的根为（ ）
A、 B、 C、 D、
11.A【05泸州】下列方程中，没有实数根的是
A． B． C．　D．
12.D【05枣庄】两个不相等的实数m，n满足m2-6m=4，n2-6n=4，则mn的值为( )
(A)6 　　 (B)-6 　　　　 (C)4 　　　　　 (D)-4
13.B【05漳州】关于x的一元二次方程的两根为那么代数式的值为( )
A B C 2 D－2
14.B【05梅州】方程x2－5x－1=0
A、有两个相等实根 B、有两个不等实根
C、没有实根 D、无法确定
15. D【05东营】两个不相等的实数m，n满足，，则mn的值为
(A) 6 (B) －6
C) 4 (D) －4
16. D【05厦门】已知：a＋b＝m，ab＝－4, 化简（a－2）（b－2）的结果是
A. 6 B. 2 m－8 C. 2 m D. －2 m
17.C【05毕节】方程组的解是，那么方程x2+ax+b=0( )
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．没有实数根 D．有两个根为2和3
18.A【05泉州】一元二次方程的根的情况为（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、只有一个实数根 D、没有实数根

二、填空题
1.【05内江】等腰△ABC中，BC＝8，AB、AC的长是关于的方程的两根，则的值是　　16或25　　。
2.【05无锡】设x1、x2是方程的两个实数根，则x1+x2=__2___；x1·x2=__－2___.
3.【05上海】如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a＝　4　　　　

4．【05泸州】若、为方程的两根，则＝　　3　　
5.【05曲靖】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是 1 。
6.【05太原】解方程，判别方程2y2―8y+5=0的根的情况是___有两个不相等的正实数_________。

三、解答题
1．【05绵阳】已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【解】. (1) ∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)>0，且k≠0，解得k>-1，且k≠0 .即k的取值范围是k>-1，且k≠0 .
(2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1 , x2的倒数和为0.
则x1 ，x2不为0，且，即，且，解得k=-1 .
而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件k>-1，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在 .
2．【05南通】已知关于的方程有两个不相等的实数根、,且.
（1）求证：; （2）试用的代数式表示;
（3）当时,求的值.
【解】⑴证明:∵关于的方程有两个不相等的实数根,
∴△=,∴.
又,∴.
⑵或
(3)当时,k=1.当时,k不存在.所求的k的值为1.
3．【05陕西】已知： x1、x2是关于x的方程x2＋（2a－1）x＋a2＝0的两个实数根
且（x1＋2）（x2＋2）＝11，求a的值。
【解】∵x1、x2是方程x2＋（2a－1）x＋a2＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝1－2a，x1﹒x2＝a2
∵（x1＋2）（x2＋2）＝11， ∴x1x2＋2（x1＋x2）＋4＝11
∴a2＋2（1－2a）－7＝0，即a2－4a－5＝0。
解得a＝－1，或a＝5。
又∵Δ＝（2a－1）2－4a2＝1－4a≥0， ∴a≤。 ∴a＝5不合题意，舍去。
∴a＝－1
4.【05北京】已知：关于x的方程有两个不相等的实数根和，并且抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。
（1）求实数a的取值范围；
（2）当时，求a的值。
【解】（1）解法一：∵关于x的方程有两个不相等的实数根

解得且
设抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为、，且
∴α、β是关于x的方程的两个不相等的实数根

∴a为任意实数 <2>
由根与系数关系得：
∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁

解得：
由<1>、<2>、<3>得 a的取值范围是
解法二：同解法一，得：，且
∵抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）两旁，且抛物线的开口向上
∴当时，
解得：
由<1>、<2>得 a的取值范围是
（2）解：∵和是关于x的方程的两个不相等的实数根

不妨设
，即

解这个方程，得：
经检验，都是方程的根
，舍去
为所求

5.【05包头】 已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0。
(1 )若x=1是方程的一个根，求方程的另一个根；
(2) 若x1、x2是方程的两个不同的实数根，且x1和x2满足：x12+x22+2x1x2―x12x22=0，求m的值。
【解】（1）―3 （2）m=±4。

6.【05梅山】关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＝0。
⑴ 如果方程有实数根，求k的取值范围。
⑵ 设x1、x2是方程的两根，且，求k的值。
【解】⑴ ∵方程有实数根 ∴△≥0 即 [(2k＋1)]2－4k2≥0
4k2＋4k＋1－4k2≥0 4k＋1≥0 k≥
⑵ 解：∵x、x2是方程的两根 ∴x1＋x2＝2k＋1，x1·x2＝k2
∵ 又∵ ∴
∴， 又∵k≥ ∴应舍去，k＝
7.【05重庆课改】解方程：x－2x－2＝0
【解】方程x－2x－2＝0的解为：
x ＝ ＝
即 x＝1 ， x＝1．
另解：由x－2x－2＝0得　 ＝3 x－1 ＝
即 x＝1 ， x＝1 ．

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