竞赛讲座35“设而不求”的未知数.doc

竞赛讲座35
－“设而不求”的未知数
所谓“设而不求”的未知数，又叫辅助元素，它是我们为解决问题增设的一些参数，它能起到沟通数量关系，架起连接已知量和未知量的桥梁作用．
　　例 1　 若==
　　　　求c十y十z的值。
　　分析已知条件是以连比的形式出现时，往往引进一个比例参数来表示这个连比．
　　解　 令=＝＝k则：
　　x=k(a-b)，y=k(b-c)，z=k(c-a).
　　所以x+y+z= k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)＝0．
　　说明　本例中所设的k，就是“设而不求” 的未知数．

　　例 2　 甲、乙二人在一圆形跑道上跑步，甲用 40秒钟就能跑完一圈，乙反向跑，每15秒钟和甲相遇一次，求乙跑完一圈需要多少时间?
　　分析要求乙跑完一圈需要多少时间，就必须知道他的速度V米/秒，因此可以选择V 作参数．
　　解　设乙跑完一圈需x秒，乙跑步的速度是V米/秒，根据题意，则一圈的总路程可以用vx表示，甲的速度可用
　　表示．
　　 ∴(* 15) +15V= Vx．∵ V≠0 ，
　　∴(* 15) +15V=x．　　∴ x=24 .
　　答：乙跑完一圈需要24秒。
　　说明　这里V是"设而不求"的未知数．

　　例 3 　有一片牧场，草每天都在匀速生长 (草每天增长量相等)．如果放牧24头牛，则6 天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，设每头牛吃草的量是相等的，问如果放牧 16头牛，几天可以吃完牧草.
　　解　设每头牛每天吃草量是x，草每天增长量是y，16头牛z天吃完牧草，再设牧场原有草量是a.
　　根据题意，得

　　②-①，得 y=12x ④
　　③-②，得(z-8)y=8x(2z-21). ⑤
　　由④、⑤，得z=18。
　　答：如果放牧16头牛，则18天可以吃完牧草．
　　说明　列含参数的方程解应用题，一般情况下应用题的答案与参数的值无关，我们可以把参数消去，从而得到应用题的答案．