新北师大初三数学下册圆知识点汇总.doc

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圆
一. 点与圆的位置关系及其数量特征：
如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
①点在圆上 <===> d=r;
②点在圆内 <===> d d>r.
二. 圆的对称性:
※1. 与圆相关的概念：
④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
※2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴
※3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：
①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
※4. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三. 圆周角和圆心角的关系:
※1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
※2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；
※推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
四. 确定圆的条件:
※1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
※2. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
※3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:
(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.
(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.
五. 直线与圆的位置关系
※1.设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；
①d 直线L和⊙O相交.
②d=r <===> 直线L和⊙O相切.
③d>r <===> 直线L和⊙O相离.
※2. 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
※3. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.
※4. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.
※5. 三角形内心的性质:
(1)三角形的内心到三边的距离相等.
(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.
六. 圆和圆的位置关系.
※1. 两圆位置关系的性质与判定:
(1)两圆外离 <===> d>R+r
(2)两圆外切 <===> d=R+r
(3)两圆相交 <===> R-r d=R-r (R>r)
(5)两圆内含 <===> dr)
※2. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.
※3. 相交两圆的性质；相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
七. 弧长及扇形的面积
※1 圆周长公式:圆周长C=2R (R表示圆的半径)
※2. 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)
※3. 圆的面积公式. 圆的面积 (R表示圆的半径)
※4. 扇形的面积公式:
扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)
八. 圆锥的有关概念:
※1. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算:
圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.
如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l, 底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:

九. 与圆有关的辅助线
1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.
2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.
3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.
4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.
十. 圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的特征: ①圆内接四边形的对角互补;
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.
十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理
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图6

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P
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O
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B
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A
1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B
∴PA=PB，PO平分∠APB
※2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠B

※3．和圆有关的比例线段：
①相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；
②推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
如图8，AP•PB=CP•PD
如图9，若CD⊥AB于P，AB为⊙O直径，则CP2=AP•PB

※4．切割线定理
①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
如图10， ①PT切⊙O于T，PA是割线，点A、B是它与⊙O的交点，则PT2=PA•PB
②PA、PC是⊙O的两条割线，则PD•PC=PB•PA

※5．两圆连心线的性质
①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。
②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。
如图11，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，则连心线O1O2⊥AB且AC=BC

※6．两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。
如图12，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，连结O1A，O2B，过O2作O2C⊥O1A于C，公切线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为R，r则外公切线长：
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图9

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P
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A
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B
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C
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D
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O
如图13，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，O2C∥AB，O2C⊥O1C于C，⊙O1半径为R，⊙O2半径为r，则内公切线长：
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O
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B
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D
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P
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A
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C
图8
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O
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C
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D
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A
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B
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图 7

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图11

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B
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C
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A
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O
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2
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O
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1
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图10

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B
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D
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C
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O
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A
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T
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P

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O
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2
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d
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C
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R
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r
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A
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B
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O
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1
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图13

可编辑