高三理科数学010.doc

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期数 0509 SXG3 010
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

预 习 篇
[同步教学信息]

预习篇七 数学归纳法及其应用举例

【教材阅读提示】
数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法. 用数学归纳法证明命题的步骤是：
（1）证明当n取第一个值时结论正确；
（2）假设当时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从开始的所有正整数n都正确.

【基础知识精讲】
一、知识结构
用数学归纳法证明命题的两个步骤：
（1）证明当n取第一个值时结论正确；（这一步是递推的基础）
（2）假设当时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.（这一步是递推的根据）
二、重要内容提示
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法. 根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法.
在数学中，与正整数有关的命题有很多. 由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证. 如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确. 如果找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数. 这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当n=时，命题成立；再假设当时，命题成立，能推出n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对于所有不小于的正整数，命题都成立.
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，这两个步骤缺一不可.
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础. 但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.
（2）证明了第二步，就获得了递推的根据. 但仅有第二步而缺少第一步，就失去了递推的基础. 只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论. 因此，在完成第一、二步后，还要下一个总的结论.

【典型例题解析】
例1 用数学归纳法证明：
对所有均成立。
证明：（1)当时，左式=，右式=， ∴ 左式=右式，等式成立。
（2)假设当时等式成立，即
那么，当时，

即时，等式也成立，
由（1) （2)可知，等式对有均成立。
点评：在利用归纳假设论证等式成立时，注意分析与的两个等式的差别。时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变为。因此在证明中，右式中的应与-合并，才能得到所证式。因而，在论证之前，把时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的。由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是与的关系；二是与的关系。
例2已知数列为其前n项和，计算得,,观察上述结果，推测出计算的公式，并用数学归纳法加以证明．
解：推测.
证明：（i) 略
（ii) 假设当时等式成立，即，
则

即时，等式成立。
由（i), （ii) 可知，对一切，等式均成立。
点评：这是一个探索性问题，需要观察（归纳），从而发现规律，得出结论，进而用数学归纳法。
例３．用数学归纳法证明
.
证明：（1) 当时，左式=， 右式=，∵ ，∴ ，
即时，原不等式成立。
（2)假设时，不等式成立，即
,
则 时， 左边=

右边=，要证左边>右边，只要证 ，
只要证 ， 即证
即证 .
而上式显然成立，所以原不等式成立，即时，左式>右式．
由（1), （2)可知，原不等式对于均成立．
点评：用数学归纳法证明不等式时，应分析与的两个不等式，找出证明的关键点（一般要利用不等式的传递性），然后再综合运用不等式证明的方法。本题关键是证明不等式。除了分析法，还可以用比较法和放缩法来解决。
例4．用数学归纳法证明：n(n+1)(2n+1)能被6整除.
证明：（1）当n=1时，n(n+1)(2n+1)=6能被6整除.
（2）假设n=k时，命题成立. 即k(k+1)(2k+1)能被6整除，则n=k+1时，
(k+1)(k+2)(k+3)
=k(k+1)(2k+3)+2(k+1)(2k+3)
= k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)+2(k+1)(2k+3)
= k(k+1)(2k+1)+2k(k+1)(3k+3)

∵和都能被6整除，
∴(k+1)(k+2)(2k+3)能被6整除，即n=k+1时命题也成立.
由（1）、（2）可知，对任何正整数n命题都成立.
例5 证明：凸n边形的对角线的条数.
证明：（1）因为四边形有两条对角线，所以当n= 4时，f(4)=2; 另一方面，，此时命题成立.
（2）假设当n=k(k≥4)时，成立. 当凸k边形增加一个顶点成为凸(k+1)边形时，由顶点与另外(k－2)个顶点可构成(k－2)条对角线，同时原来的一条边变成一条对角线，这样一共增加了(k－1)条对角线，所以凸(k+1)边形的对角线条数为

这就是说，当n=k+1时，命题也成立.
根据（1）和（2）可知，命题对任何不小于4的正整数都成立.
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．设，那么f(n+1)－f(n)等于（ ）
A． B．
C．+ D．－
2．用数学归纳法证明命题：，第二步在假设n=k时命题成立，去证明n=k+1时命题也成立，需在等式的两边同乘的因式是（ ）
A．2k+1 B．2k+2
C．(2k+1)(2k+2) D．4k+2
3．用数学归纳法证明：当n为正奇数时，能被x+y整除，第二步的假设应写成（ ）
A．假设n=k(k为正奇数)时命题正确，再推证n=k+1时命题正确
B．假设n=2k+1时(k∈N)命题正确，再推证n=2k+2时命题正确
C．假设n=2k+1时(k∈N)命题正确，再推证n=2k+3时命题正确
D．假设n=2k－1时(k∈N)命题正确，再推证n=2k+1时命题正确
4．某个与自然数n有关的命题，如果当时该命题成立，则可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知n=5时命题不成立，那么可推得（ ）
A．当n=4时该命题不成立 B．当n=6时该命题不成立
C．当n=4时该命题成立 D．当n=6时该命题成立
同步检测[※※级]
一、选择题

1．一个关于正整数n的命题，如果验证n=1时命题成立，并在假设n=k(k≥1)时命题成立的基础上，证明了n=k+2时命题成立，那么综上所述，对于（ ）
A．一切自然数命题成立 B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
2．在数列中，，前n项和，先算出数列的前4项的值，根据这些值，归纳猜想数列的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
3．数列中，已知a1=1,当n≥2时，，依次计算后，猜想的表达式是（ ）
A．3n－2 B．
C． D．4n－3
二、解答题
4．用数学归纳法证明：.
5．用数学归纳法证明：能被64整除.
6．已知数列满足，且前n项和满足：. 猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.
参考答案
同步落实[※级]
一、1．D 2．D 3．C 4．A

同步检测[※※级]
一、1．B 2．D 3．B
二、4．证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，等式成立.
（2）假设当n=k时，等式成立，即：
，
则当n=k+1时，

即当n=k+1时，等式也成立.
由（1）、（2）可知，对任何,等式成立.
5．证明：（1）当n=1时，，能被64整除，命题成立.
（2）假设当n=k时，命题成立，即能被64整除，
则当n=k+1时，
因为能被64整除，所以能被64整除.
即当n=k+1时，命题也成立.
由（1）、（2）可知，对任何，命题都成立.
6．解：由已知，，
∴，
∴，同理. 猜想：
下面用数学归纳法加以证明：
（1）当n=1时，，而，公式成立，
（2）假设当n=k时，公式成立，即，
当n=k+1时，，
∴，
即当n=k+1时，公式也成立.
由（1）、（2）可知，对任何公式都成立.