1、中国数学教育网 info一九九八年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、 填空题1.设,那么的整数部分是 .2.在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于 厘米.3.已知,那么代数式的值是 .4.已知,是有理数,并且方程有一个根是,那么的值是 .5. 如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF=3厘米,那么FG= 厘米.6.满足19982+=19972+的整数对,共有 个.7.设平方数是11 个相继整数的平方和,则的最小值是 .8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P, 已知的面积等于四
2、边形MPCA的面积的一半, BP=2厘米, PC=3厘米,那么直角三角形ABC的面积是_平方厘米.9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米, E, F分别为边AB, BC上的点, AF, CE相交于点G,并且的面积为5平方厘米,的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是_平方厘米.10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有_人.11.设为实数,那么的最小值是_.12. 1, 2, 3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_.13.在右边的加法算式中,每一个表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A与B乘积的最大值是_.14.直线
3、AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4厘米,6厘米,那么P到BC的距离为 厘米.15.每一本书都有一个国际书号: A B C D E F G H I J ,其中A B C D E F G H I 由九个数字排列而成,J是检查号码.令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,r是S除以11所得的余数,若r 不等于0或1,则规定J=11-r.(若r=0,则规定J=0;若r=1,规定J用表示)现有一本书的书号是962707015,那么= .第二试1. 求所有正实数,使得方程仅有整数根.2. 已知P为ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M
4、、N分别为PB,PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证:(1) P,Q,O三点在一条直线上;(2) PQ=2OQ. 3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.一 九 九 八 年第 一 试1 3 ， ，.2如图，AD为直角A的平分线，过B作交CA的延长线于点E. ，又，.32 .43因为m、n为有理数，方程一根为，那么另一个根为，由韦达定理.得 ，.5由原图 ， (厘米).616 , .显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)共(个).71111个相继整数的平方和为 ,则y最小时，从而，.8 ， ， , ，. .9 ，同
5、理,由原图，连BG. 记，.又由已知 ，解之得 ， . .1013由题意，设有n人，分苹果数分别为1,2,n 100, n13，所以至多有13人.11-1 -1.当 ，即 ，时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1.1273对 (1mn98 m,n为整数)因为n+m与n-m同奇同偶，所以x是奇数或是4的倍数，所以1至98共98个自然数中，满足条件的数有49+24=73个.1315设算式acfBbeAdh+g显然：g=1,d=9,h=0. a+c+f=10+B b+e=9+A A6. . .欲令AB最大，取A=5，B=3，此时b,e为6,8;a,c,f为2,4,7，故AB最大值为15.14如
6、图，.P,Q,C,N四点共圆，P,Q,B,N四点共圆,， ， ， (厘米).157 S被11除所得的余数等于被11除所得的余数.由检查号码可知，S被11除所得的余数是11-5=6，因此7y被11除所得余数为 6-1=5, y=7第 二 试一、设两整数根为x,y(xy)， 则ya,4x8.可推出， ，由于x为整数, 时，； 时，； 时，a不是整数；时，.于是或18或16均为所求.说明 没有说明理由，仅指出a的每一个正确值给4分.二、证明 如原图，连PO，设PO与AN，DM分别交于点,.在中，为重心，在中，为重心，这样，并且,就是AN，DM的交点Q.故P,Q,O在一条直线上，且.三、1680，1692，1694，1695，1696为满足条件的5个数（注：答案不唯一）以上5个数可用以下步骤找出：第一步：2,3,4为满足要求的三个数. 第二步：设a,a+2,a+3,a+4为满足条件的四个数，则a可被2,3,4整除.取a=12，得满足条件的四个数12，14，15，16.第三步：设b,b+12,b+14,b+15,b+16.取12,14,15,16的最小公倍数为b.即b=1680，得满足条件的五个数1680，1692，1694，1695，1696.第 7 页 共 7 页
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