考点跟踪训练31图形的轴对称.doc

考点跟踪训练31　图形的轴对称

一、选择题
1．(2011·大理)如图所示的图案中是轴对称图形的是(　　)

答案　D
解析　只有图案D翻折后能够互相重合，选D.
2．(2011·达州)图中所示的几个图形是国际通用的交通标志，其中不是轴对称图形的是(　　)

答案　C
解析　图形C翻折后不能互相重合，不是轴对称图形．

3．(2011·宜昌)如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的(　　)

A．轴对称性
B．用字母表示数
C．随机性
D．数形结合
答案　A
解析　根据轴对称的定义，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，数学美体现在图案的轴对称性．
4．(2011·济宁)如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE＝4 cm，则△ABD的周长是(　　)

A．22 cm B．20 cm
C．18 cm D．15 cm
答案　A
解析　根据折叠，可知AE＝EC＝4，且AD＝CD.由AB＋BC＋AC＝30，得AB＋BC＝22，所以△ABD的周长AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝22.

5．(2010·凉山)如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②CD＝DN；
③∠FAN＝∠EAM；④△CAN≌△BAM.其中正确的有(　　)

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　C
解析　由题意可知，整个图形为轴对称图形，有EM＝FN，∠FAN＝∠EAM，△CAN≌△BAM，但CD＝DN不一定成立，其余3个结论一定成立，故选C.
二、填空题
6．(2011·宿迁)将一块直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，展开后平铺在桌面上(如图所示)．若∠C＝90°，BC＝8 cm，则折痕DE的长度是______cm.

答案　4
解析　由题意，得∠AED＝∠CED＝90°，又∵∠C＝90°，∴DE∥BC.∵AE＝EC，
∴AD＝BD，∴DE是△ABC的中位线，DE＝BC＝×8＝4.
7．(2011·怀化)如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l 对称，则∠B＝_______________.

答案　90°
解析　由题意，得△ABC≌△A′B′C′，得∠A＝∠A′＝30°，∠C＝∠C′＝60°，所以∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝90°.

8．(2011·潼南)如图，在△ABC中，∠C＝90°， 点D在AC上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC＝5 cm，则点D到斜边AB的距离是______．

答案　5
解析　∵BD是折痕，

∴△BCD≌△BED，
∴∠CBD＝∠ABD，∠BED＝∠C＝90°.
∴点D到BC、BA边的距离相等，即DE＝DC＝5.

9．(2011·河南)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_________．

答案　4
解析　∵∠ABD＋∠ADB＝90°，∠CBD＋∠C＝90°，又∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD.∴点D到BA、BC边的距离相等，又∵“垂线段最短”，∴DP长的最小值＝DA＝4.
10．(2010·长春)如图，抛物线y＝ax2＋c(a＜0)交x轴于点G、F，交y轴于点D在x轴上方的抛物线上有两点B、E，它们关于y轴对称，点G、B在y轴左侧．BA⊥OG于点A，BC⊥OD于点C.四边形OABC与四边形ODEF的面积分别为6和10，则△ABG与△BCD的面积之和为__________.

答案　4
解析　∵抛物线y＝a2x＋c是以y轴为对称轴的轴对称图形，∴四边形ODBG与四边形ODEF的面积相等，SODBG＝10.又∵S四边形OABC＝6，∴S△ABG＋S△BCD＝10－6＝4.
三、解答题
11．(2011·宁波)请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．(注：所画的三个图不能重复)

解　

12．(2010·荆州)有如图的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼出的图案．(画出的两个图案不能全等)

解

13．(2010·达州)如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明．

解　有，△ABN≌△AEM.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠DAB＝90°.
∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM，
∴AE＝CD，∠E＝∠D＝90°，∠EAN＝∠C＝90°.
∴AB＝AE，∠B＝∠E，∠DAB＝∠EAN，
∴∠BAN＋∠NAM＝∠EAM＋∠NAM，
∴∠BAN＝∠EAM.
在△ABN与△AEM中，

∴△ABN≌△AEM.
14．(2011·济宁)去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系(如图)，两村的坐标分别为A(2,3)，B(12,7)．
(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短？
(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？

解　(1)作点B关于x轴的对称点E，连接AE，
则点E为(12，－7)，
设直线AE的函数关系式为y＝kx＋b，则
解得
所以，直线AE解析式为y＝－x＋5.
当y＝0时，x＝5，所以，水泵站应建在距离大桥5千米的地方时，可使所用输水管道最短.
(2)作线段AB的垂直平分线GF，交AB 于点F，交x轴于点G，作AD⊥x轴于D，BC⊥x轴于点C，
设点G的坐标为(x,0)，
在Rt△AGD中，AG2＝AD2＋DG2＝32＋(x－2)2，
在Rt△BCG中，BG2＝BC2＋GC2＝72＋(12－x)2，
∵AG＝BG，∴32＋(x－2)2＝72＋(12－x)2，
解得x＝9.
所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等.

15．(2010·淮安)
(1)观察发现
如图a，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP＋BP的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P.再如图b，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连结CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP＋PE的最小值为________；

(2)实践运用
如图c所，已知⊙O的直径CD为4，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值；

(3)拓展延伸
如图d，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD.保留作图痕迹，不必写出作法．

解　(1).
(2)如图，作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD于一点P，则AP＋BP最短．
∵的度数为60°，点B是的中点，
∴∠AEB＝15°.
∵B关于CD的对称点为E，∴∠BOE＝60°，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠OEB＝60°，∠OEA＝45°.
又∵OA＝OE，
∴△OAE为等腰直角三角形，∴AE＝2 .
∵B关于CD的对称点为E，∴BP＝PE，
∴AP＋BP≥AE＝2 .即BP＋AP的最小值为2 .
(3)找B关于AC对称点E，连接DE，并延长交AC于P即可．