初二.绝对值与二次根式.doc

[文件] sxjsck0016 .doc
[科目] 数学
[关键词] 初二/绝对值/根式
[标题] 绝对值与二次根式
[内容]
绝对值与二次根式
1． 绝对值
例1 （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？
解由已知条件可得
T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.
∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.
例2 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.
证 设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.
∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.
∵ab≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.
∴|b|-1=＞0，∴|b|＞1.
同理可证|a|＞1.
∴a、b都不在-1与1之间.
例3 设a、b是实数，证明
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
证明 当|a|-|b|≤0时，|a|-|b|≤|a+b|成立.
当|a|-|b|＞0时，由于
（|a|-|b|）2-|a+b|2
=（a2+b2-2|ab|）-（a2+b2+2ab）
=-2（|ab|-ab）≤0，
∴|a|-|b|≤a+b|.
同理可证|a+b|≤|a|+|b|.
2． 根式
在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：
（1） 配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.
例4 (1981年宁波初中竞赛题)设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值.
解
=4-=2+(2-),
故x=2,y=2-,
∴x+y+
=4-+2+=6.
例5 化简
解 原式=
=|x+3|+|x-1|-|x-2|.
令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分
当x＜-3时
原式=-（x+3）-（x-1）+（x-2）=-x-4；
当-3≤x＜1时，
原式=（x+3）-（x-1）+（x-2）=x+2；
当1≤x≤2时，
原式=（x+3）+（x-1）+（x-2）=3x；
当x＞2时，
原式=（x+3）+（x-1）-（x-2）=x+4.
说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技巧.
例6 化简（a＞＞0）.
解
原式=

=
=
∵a＞＞0. ∴a2＞2b2，
∴原式=
例7 求证：
证明：∵
=

∴原式=4.
(2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号
例8 已知求证:
(x+y+z)3=27xyz.
证明:∵
∴
两边立方
x+y+
即
再边再立方得（x+y+z）3=27xyz.
例9 已知
求证
证明 设则

即
同理可设则

∴A+B=
=
=
由 A+B=a，
得
∴
（2） 比较系数法
例10 求满足条件的自然数a、x、y.
解 将等式两边平方得
∵x、y、a都是自然数.
∴只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.
∴x+y=a，xy=6.
由条件可知 x＞y且x、y是自然数.
当x=6时，y=1，得a=7.
当x=3时，y=2，得a=5.
故x=6,y=1,a=7.
或x=3,y=2,a=5.
例11 化简
分析 被开方式展开后得13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的.
解 设

=,
两边平方得
13+2
=x+y+z+2
比较系数,得
①
②
③
④

由②有，代入③，得代入④，得y2=52，∴y=5（x、y、z非负），
∴=1，
∴原式=1+
（4）设参法
例12 （1986年数理化接力赛题）
设（a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn都是正数）.求证:

=
证明 设
且a1=b1k,a2=b2k,…，an=bnk.
左边=

=
右边=
·
=
∴左边=右边
（5）公式法、代数变换及其他
例13 已知x=求x3+12x的值.
解 由公式（a-b）3=a3-b3-3ab（a-b）可得

·
=8-3
=8-12x.
∴x3+12x=8.
例14 设
求x4+y4+（x+y）4.
解 由条件知
∴x+y=5，xy=1.
∴原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4
=[(x+y)2-2xy]2-2x2y2+(x+y)4
=(25-2)2-2+54
=1152.
例15 (1978年罗马尼亚竞赛题)对于a∈R，确定的所有可能的值.
解 记y=. ①
先假定a≥0，这时y≥0，把①两边平方得
②
即 ③
再平方，整理后得
④
从而 ≥0.
由②知 y2＜2a2+2-2=2.
再由⑤知 y2≤1，∴0≤y＜1.
反过来,对于[0,1]中的每一个y值,由⑤可以定出a，并且这时2a2+2-y2＞0，故可由⑤逆推出②和①，因而在a≥0时，的值域为（0，1）.
同样在a＜0时，的值域为（-1，0），综上的值域是（-1，1）.
练习十七
1． 选择题
（1）若实数x满足方程|1-x|=1+|x|，那么等于（ ）.
（A）x-1（B）1-x（C）±（x-1）（D）1（E）-1
（2）方程x|x|-5|x|+6=0的最大根和最小根的积为（ ）.
（A）-6 （B）3 （C）-3 （D）6 （E）-18
（3）已知最简根式与是同类根式，则满足条件的a、b的值（ ）.
（A） 不存在 （B）有一组 （C）有二组 （D）多于二组
2． 空题
（1） 已知|x-8y|+（4y-1）2+则x+y+z=_________.
（2） 若a＞b＞c＞0，l1=乘积中最小的一个是__________.
（3） 已知0＜x＜1，化简

（4） 已知则
（5）（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于__________.
3.化简(a＞0).
4.已知ab＜0，a2+b2=a2b2，化简

5．如果x＞0，y＞0，且试求的值.
6．（第8届美国教学邀请赛试题）
求的值.
7．求适合下列各式的x、y；
（1）若x、y为有理数，且
（2）若x、y为整数，
8．已知求证a2+b2=1.
9．已知A=求证
11＜A3-B3＜12＜A3+B3＜13.
10．（1985年武汉初二数学竞赛题）已知其中a、b都是正数.
（1） 当b取什么样的值时，的值恰好为b？
（2） 当b取什么样的值时，的值恰好为？

练习十七
1.略
2．（1）3 （2）l （32x （4）a2-2 （5）6.
３．当时，ｙ＝ａ，当ｘ＞２ａ２时，ｙ＝
４．∵ａｂ＜０，∴｜ａｂ｜＝－ａｂ，若ａ＞０＞ｂ，原式＝－ａｂ；若ａ＜０＜ｂ，原式＝ａｂ．
５．原式＝２．
６．原式＝８２８．
７．（１）
（２）ｘ＝２２，ｙ＝２；ｘ＝－２２，ｙ＝－２．
８．由条件知两边平方后整理得再平方得1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0即1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,[1-(a2+b2)]2=0,∴a2+b2=1.
9.∵A2+B2=6,AB=2,∴(A+B)2=1,A+B=,A-B=,∴A3-B3=(A-B)+3AB(A-B)=

８． 当b≥0时，原式值为b，
当0＜b＜1时，原式值为

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