课题学习教及考.doc

课题学习的教和考
陕西省西安市雁塔区教师进修学校 刘旭亮
自初中数学开设课题学习以来，许多一线教师总觉得课题学习的内容既难教又难考.2009年陕西中考数学的第25题给我们在如何考方面做了示范，同时也启发我们如何教.
试题（陕西 第25题）
（1）请在图1①的正方形内，画出使的一个点，并说明理由．
（2）请在图1②的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理
由．
（3）如图1③，现在一块矩形钢板．工人师傅想用它裁出两块全
等的、面积最大的和钢板，且．请你在图③
中画出符合要求的点和，并求出的面积（结果保留根号）．

D
C
B
A
①
D
C
B

A
③
D
C
B
A
②
图1

1 如何考
课题学习的形式很多，常见的形式有：数学探究、数学应用、数学实验和数学调查.该试题同时具有探究和应用两种形式.
1.1问题探究
问题探究以正方形为背景设置了两个问题.问题（1）是最特殊的，所要求找的点P是一个，而且所画的角是90°.到了问题2就趋于较特殊和一般. 说较特殊是值所画的角是60°，说一般是指所要求找的点P是符合条件的所有点.所以，从问题（1）到问题（2）既有对学生类比猜想能力的考查，又有对学生抽象概括能力的考查.
具体来说，画，可以利用正方形的对角线互相垂直的特性，直接画出两条对角线即可.交点恰为所求的点P.可是画呢？假设点P已经找到，则点A、P、B容易形成等边三角形.于是办法找到：以为边在正方形内作等边.这时得到的点P仅仅是满足问题（1）的要求.如何找到符合条件的所有点？不妨再假设正方形内还有一点D
C
B
A
图2
O
P
E
F
P′
P′也满足条件，连结、，如图2，我们自然联想到圆周角定理及其推论——在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.同圆就是的外接圆⊙O，同弧就是劣弧.这样一来，⊙O在正方形内的就是符合条件的所有点P形成的集合（轨迹）.
若将60°再换成任意角α（）呢？这一问题我们将在教学部分2.3中展开论述.
1.2 数学应用
问题（3）的情境是工人师傅想在一定尺寸大小的矩形钢板上裁出两块全等的、面积最大的三角形钢板.与问题（2）相同的地方是所找的点P、P′，均满足.
不同的地方：一是把正方形换成了矩形，二是找符合条件的点时要保证两块三角形既全等又面积最大.
图3
D
C
B
A
E
O
P
P1
P4
P3
P2
P′
在对问题（1）、（2）的探究中，我们发现正方形的特性只有在问题（1）中起了一点儿特殊的作用，而在问题（2）的探究中并没有起到什么实质性的作用.因此把正方形换成矩形没改变问题的实质.解决第二个不同，是问题（3）的突破口.要保证三角形面积最大，只有用最大圆去覆盖矩形，所以应该选矩形的长作为60°圆周角所对的弦.于是按照问题（2）的解决方法，先以为边作等边，再作等边的外接圆⊙O，这时除点A、B外，⊙O 与矩形有4个交点，如图3.其中P2、P3能保证裁出一块最大的三角形，但不能保证裁出最大的两块三角形；P1、P4虽然能保证裁出两块三角形，但不是最大，材料有浪费.所以符合条件的点P必在或上.根据矩形的中心对称性，对角线与这两段弧的交点就是所找的点P之一.设对角线AC与交于点P，则在对角线AC上截取，点P′就是所要找的另一点.
图4
C
A
B
P
G
1.3 巧妙追问
问题（3）中的追问“并求出的面积（结果保留根号）”设置得很巧妙.妙在把传统的“母子三角形”隐去，变为解含
60°角的任意△ABP，如图4.
过点作，交于点．则BG同时是
Rt△ABC和上的公共高.利用面积法求出BG，利用勾股定理或相似三角形或射影定理求出AG，利用锐角三角函数求出PG，进而得于是的面积可求.
2 如何教
该试题实际是一个小型的课题学习材料.我们不妨从素材开发、教学设计和本质揭示三个方面作以分析.
2.1 素材开发
图5
尽管教材的开发者给出了一些课题学习材料，但是它们符合不同地区、不同学生的实际，需要一线教师取舍和开发.那么取舍和开发的依据是什么呢？《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）对三个学段的“实践与综合应用”做了不同的要求.其中第三学段的要求是：“学生将探讨一些具有挑战性的研究课题，发展应用数学知识解决问题的意识和能力，同时进一步加深对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系.”可见，课题学习至少有两个重要目标：一是综合性，二是现实性.综合性包含两个方面：一方面是数学各部分知识与表达方式之间的综合，另一方面是数学学科知识与其他学科知识的综合；现实性包含三个方面：学生的生活现实、认知现实和数学现实.
笔者认为该试题素材来源于“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”的基本图形，如图5.命题人凭借科学的命题艺术把一个推论演化成小小的问题探究和问题解决，突出体现了课题学习的两个重要目标.
我们可以把该素材开发成课题学习，放在圆周角定理的学习之后进行.
2.2 教学设计
问题探究一
（1）请在图6的线段的同侧，画出使的所有的点，并说明理由．
分析：假设线段AB外有一点P满足条件，则其他满足条件的点P一定在的外接圆上.
解：如图7，画法如下：
A
B
图6
①以为边作等边；
②作的外接圆.
图7
P
·
在中，弦所对的上的圆周角均为，
O
上除点A、B外的所有点均为所求的点.

B
A

问题探究二
D
C
B
A
图8
（2）请在图8的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理由．
分析：在（1）的基础上，落在正方形内的弧上任意一点均
满足条件.
解：如图9，画法如下：
①以为边在正方形内作等边；
②作的外接圆，分别与交于点．
D
C
B
A
图9
O
P
E
F
在中，弦所对的上的圆周角均为，
上的所有的点均为所求的点．

问题解决
D
C
B
A
图10
（3）如图10，现在一块矩形钢板．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且．请你在图10中画出符合要求的点和，并求出的面积（结果保留根号）．
分析：见本文“1.2数学应用”第二段.
解：如图11，画法如下：
D
C
B
A
E
O

P
图11
①连结；
②以为边作等边；
③作等边的外接圆，交于点；
④在上截取．
则点为所求．
过点作，交于点．如图12.
在中，．
D
C
B
A

E
G
O

P
图12
．
．
在中，，
．
在中，，
．
．
．
2.3 本质揭示
数学本质的揭示是教师教好和学生学好的关键.
2.3.1 集合思想
通过2.2教学设计的问题探究一，我们可以看到推论“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”的另一种表述：两边分别经过平面上两定点A、B，且在线段AB同侧的所有等角的顶点P的集合是，两定点与顶点所形成的三角形外接圆上的一段弧（点A、B除外）.（若有条件，则可借助集合画板进行动态演示.）问题探究二中找到点P的方法是：通过作图得到与正方形（含边和内部）的公共部分，就是符合条件的所有点P的集合.
2.3.2 化归思想
我们现在讨论1.3中所预设的问题：若将60°再换成任意角α（）呢？
90°时，连结正方形的对角线，相当于以AB为边作等腰直角△ABP；60°时，以AB为边作等边△ABP；∠APB＝α呢？自然想到以AB为底边作等腰△ABP.问题转化为：已知底边AB和顶角α，如何作等腰三角形？易得底角β.于是问题进一步转化为已知两角及夹边作三角形.
2.3.3 通性通法
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中.自课改以来，无论中考数学还是高考数学，淡化特殊技巧，注重通性通法，已成为数学界的共识. 我们看到该试题中三个小问的解决没用到什么高深的、超出《标准》要求的数学知识，也没用到什么特殊技巧.比如说，解决问题的主要依据是圆周角定理的推论，真可谓小原理解决大问题.求线段的长主要用到勾股定理和锐角三角函数，求三角形的面积就用其面积公式，也用不到奇妙的割补等方法.

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