中考数学特色试题（十二）探究性问题.doc

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“探究性问题”练习

1． 如图，两点分别在的边上，
与不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，
．

2． 若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是 ．（写出一个即可）
3． 让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1=5，计算n12+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得a3；
…………
依此类推，则a2008=_______________.
4． 观察下面的一列单项式: -x、2x2、-4x3、8x4、-16x5、…根据其中的规律，得出的第10个单项式是（ ）
A.-29x10 B. 29x10 C. -29x9 D. 29x9
5． 任何一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），如果在的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成，，这三种，这时就有．给出下列关于的说法：（1）；（2）；（3）；（4）若是一个完全平方数，则．
其中正确说法的个数是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积。然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积。用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（ ）
A. B.
C. D.

7． 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=。
C
B
A
D
·P
（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；
（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交
AB的延长线于F。
①求证：点B平分线段AF；
②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？
若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由。
8．x
y
A
D
E
C
B
M
O
·
如图所示，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D.
(1) 求点A、B、C的坐标。
(2) 把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC.
① 求E点的坐标；
② 试判断四边形AEBC的形状，并说明理由；
(3) 试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小，
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

9．如图，矩形中，厘米，厘米（）．动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米／秒．过作直线垂直于，分别交，于．当点到达终点时，点也随之停止运动．设运动时间为秒．
（1）若厘米，秒，则______厘米；
（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
D
Q
C
P
N
B
M
A
D
Q
C
P
N
B
M
A

10．已知：二次函数y＝x2 -(m＋1)x＋m的图象交x轴于A(x1，0)、B(x2，0)两点，交y轴正半轴于点C，且x12 ＋x22 ＝10．
⑴求此二次函数的解析式；
⑵是否存在过点D(0，-)的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

答案：
1．∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC或）
2．（答案不唯一）
3．26
4．B
5．B
6．A
7．解：（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC。
C
B
A
D
·P
E
F
由∠D=900 ，DE=1，AD=，推得∠DEA=600，同理，∠CEB=600 ，从而∠AEB=∠CEB=600 ，即EB平分∠AEC。
（2）①∵CE∥BF，∴== ∴BF=2CE。
∵AB=2CE，∴点B平分线段AF
②能。
证明：∵CP=，CE=1，∠C=900 ，∴EP=。
在Rt △ADE中，AE= =2，∴AE=BF，
又∵PB=，∴PB=PE
∵∠AEP=∠FBP=900 ，∴△PAE≌△PFB。
∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到，旋转度数为1200

8．（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，）
（2）①E（）；②四边形AEBC是矩形；
（3）在直线BC上存在一点P（）使得△PAD的周长最小。
9．解：（1），
（2），使，相似比为
（3），
，即，

当梯形与梯形的面积相等，即
化简得，
，，则，
（4）时，梯形与梯形的面积相等
梯形的面积与梯形的面积相等即可，则
，把代入，解之得，所以．
所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等．

10．解：⑴依题意，得x1x2＝m，x12 ＋x22 ＝10，
∵x1 ＋x2 ＝ m ＋1，∴(x1 ＋x2)2 -2x1x2 ＝10，
∴(m＋1)2 -2m＝10，m＝3或m＝ -3，
又∵点C在y轴的正半轴上，∴m＝3．
∴所求抛物线的解析式为y＝x2 -4x＋3．
⑵假设存在过点D(0，-)的直线与抛物线交于M(xM，yM)、N(xN，yN)两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．
∵M、N两点关于点E对称，∴yM ＋yN＝0. 设直线MN的解析式为：y＝kx-．
由得x2 -(k＋4)x＋＝0，∴xM ＋xN ＝4＋k，∴yM ＋yN ＝k(xM ＋xN)-5＝0．
∴k(k＋4)-5＝0，∴k＝1或k ＝ -5．
当k＝-5时，方程x2 -(k＋4)x＋＝0的判别式⊿＜0，∴k＝1，
∴直线MN的解析式为y＝x-．
∴存在过点D(0，-)的直线与抛物线交于M、N两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．

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