四川省南充市高2013届第一次高考适应性考试数学理试题.doc

南充市高2013届第一次高考适应性考试
数学试卷（理科）
（考试时间120分钟，满分150分）
一、 选择题（每题5分，共50分）
1.是虚数单位，复数=（ ）
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
3.设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知命题：，则是（ ）
A. B.
C. D.
5.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（ ）
A.向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位
C. 向左平移个长度单位 D. 向右平移个长度单位
6.函数 的图像大致为下图的（ ）

7.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）
开始

输出S
结束
是
否
A. B. C. D.
8.设等差数列的前项和为，、是方程的两个根，则等于（ ）
A. B. C. D
9.已知中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，若，，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10.已知、为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
填空题（每题5分，共25分）
11.已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是 .
12.若的展开式中的系数是，则实数的值是 .
13.在体积为的三棱锥的棱上任取一点，则三棱锥的体积大于的概率是
14.已知是直线上的动点，、是圆的两条切线，、是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为 .
15.对于三次函数，定义是函数的导函数。若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心。根据这一发现，对于函数，则…的值为 .
解答题（共6小题，共75分）
16.（本题满分12分）
已知的三个内角、、所对的边分别为、、；向量，，且.
（I）求的大小；
（II）若，求
17.（本题满分12分）
某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段，现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分100分）进行统计，制成如下频率分布表：
分数（分数段）
频数（人数）
频率

①
0.16

22
②

14
0.28

③
④
合计
50
1
（I）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（II）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，只要答对2道题就终止答题，并获得一等奖，如果前三道题都答错，就不再答第四题。某同学进入决赛，每道题答对的概率的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同.
①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
②记该同学决赛中答题个数为，求的分布列及数学期望.
18.（本题满分13分）
如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成的角.
（I）求证：平面
（II）求二面角的余弦值；
（III）设点是线段上一个动点，试确定的位置，使得平面，并证明你的结论.
19.（本题满分12分）
设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，是和的等差中项.
（I）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（II）证明.
20.（本题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为3.
（I）求椭圆的方程；
（II）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点、，且，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由
21.（本题满分14分）
设函数.
（I）求函数的最小值；
（II）设，讨论函数的单调性；
（III）斜率为的直线与曲线交于、两点，求证：.

南充市高2013届第一次高考适应性考试
数学理科答案
一、 选择题（50分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
A
D
C
A
B
C
D
A
D
C
二、 填空题（25分）
11. ； 12. 2 ； 13. ； 14. 2 ； 15. 3018
三、 解答题(75分）
16.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

17. （本题满分12分）
解：（Ⅰ） ① 8 ② 0.44 ③ 6 ④ 0.12 …………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：P = 0.4
①该同学恰好答满4道题而获得一等奖，即前3道题中刚好答对1道题.第4道也能够答对
才获得一等奖，则有 ……………………………6分
②因为只要答对2道题就终止答题，并获得一等奖，所以该同学答题个数为2、3、4.
即X= 2、3、4

分布列为：

……………………………12分
18.（本题满分13分）
解：(Ⅰ证明：因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC.
因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
从而AC⊥平面BDE. ……………………………4分

(Ⅱ)因为DA，DC，DE两两垂直，
所以建立空间直角坐标系D－xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，
即∠DBE＝60°，
所以＝.
因为正方形ABCD的边长为3，所以BD＝3，
所以DE＝3，AF＝.
则A(3,0,0)，F(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0，30)，
所以＝(0，－3，)，＝(3,0，－2)，
设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝，则n＝(4,2，)．
因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的一个法向量，＝(3，－3,0)，
所以cos〈n，〉＝＝＝.
因为二面角为锐角，所以二面角F－BE－D的余弦值为. …………………9分
(Ⅲ)点M是线段BD上一个动点，设M(t，t,0)．
则＝(t－3，t,0)，
因为AM∥平面BEF，
所以·n＝0，
即4(t－3)＋2t＝0，解得t＝2.
此时，点M坐标为(2,2,0)，BM＝BD，符合题意． …………………………13分
19.（本题满分12分）

（Ⅱ）因为，则． ………10分
所以2(． …12分
20.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为,由已知得.
设右焦点为，由题意得 ……………………………2分
.
椭圆的方程为. ……………………4分

21.（本题满分14分）
解：(Ⅰ)

(Ⅱ)

（Ⅲ）