整数的数量关系PPT课件.ppt

按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,.,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,.,*,整數的數量關係,台南市北區文元國小,陳尚美,書報討論數學教材分析,指導教授：葉啟村,1,.,整數的數量關係,（82年版）,一、,因數與倍數,二、,加、乘法交換律、結合律，乘法對加法的分配律,三、,列式活動,四、,等號的意義,五、,電算器,六、,兩（多）步驟問題,2,.,一、因數與倍數,64年版：,會求最大公因數與最小公倍數是解決分數問題的必備條件。教材包含（,1）最大公因數與最小公倍數；（2）質數與合數；（3）因數分解與質因數分解；（4）短除法；（5）2、3、5、11等質因數的判斷法。,82年版：,只引入因數與倍數的意義，不期望兒童以其概念解決問題,九年一貫：,N-3-18-能察覺整數的因數、倍數、公因數、公倍數。,N-3-20-能察覺整數的最大公因數、最小公倍數、質數和合數，並能將一個數做質因數分解。,3,.,一1、因數問題,使用除法觀點，由總量為問題的起點，探討可能組總量的單位量(總量可以由哪些單位量組成),當學童測量運思尚未發展完全，無法將等分除與包含除視為相同的問題時，不易掌握由單位量組成總數的意義。故先從情境問題進入，探討因數的意義。,4,.,情境中的因數問題：（第九冊14單元）,情境1.,在方陣排列問題中探討給定總量方陣的可能排法,例：提供12個全等的小正方塊積木，要求學童將小正方塊積木排成長方形（不可中空）,討論重點：每排可分得幾個正方塊（單位量）,5,.,情境,2,.,在包含除及等分除的情境問題中，給定總量，要求學童回答可能的等分組方式,例如：有18個小朋友，全部分組做實驗，分出的組，一組一組的人數都要一樣多，一組可以有多少個小朋友，分分看？,6,.,情境3：,在倍的問題情境中，給定總數，要求學童解決可能組成單位量的數值問題：,例：幾包牙刷合起來有16支，一包一包牙刷的支數都一樣多，一包可以有幾支牙刷？,.,*,避免以部分的觀點透過合成方式解題,*,要求以全部的觀點透過分解的方式來解決問題，使用除法紀錄解活動，以培養孩童測量運思的發展，引入因數的意義。,7,.,一2、因數與倍數的關係,在數學上，是以除法原理（若有a、b兩個正整數，則必可找到q、r兩個非負整數，滿足abqr的關係，且br0）為基礎，透過判斷a是否能整除b（餘數是否為0）的方式，引入因數與倍數的定義,。,以問題的題意來區分，因數問題是指定一個正整數，詢問以哪些正整數為單位量，可以乘法性地合成這個指定的正整數，例如：探討6的因數時，一個6是6；二個3是6；三個2是6；六個1是6，因此6、3、2、1皆是可以乘法性地合成6的單位量，稱之為6的因數。,（向內探討組成一個正整數的單位量）,8,.,倍數問題是指定一個正整數做為單位量，詢問由此單位量可以乘法性地生成哪些正整數，例如：探討6的倍數時，以6為單位量可以產生6、12、18.，這些以6為單位量所生成的正整數，稱之為6的倍數。,（向外探討以一 個正整數為單位量，可以生成哪些正整數）,9,.,教學活動(增進其測量運思）,（1）透過判斷一個整數是否為其因數的整數倍的方式，讓學童察覺此整數為其所有因數的倍數,（2）透過先求出某數所有的因數，再判斷該數是否為其所有因數的倍數的方式，幫助學童察覺一數是其所有因數的公倍數；,（3）透過解決兩數相乘問題，幫助學童察覺兩數相乘的積數為兩數的公倍數，並希望學童能不經過計算的過程，就直接能判斷兩數相乘的積數為兩數的公倍數。,10一3、倍數問題,本課程透過乘數未知的乘法算式填充題2（）10，先要求學童解題，再經由語言的轉換，2的5倍是10，所以10是2的5倍，引入倍數的意義：10是2的5倍，而且2、5、10都是整數，所以說10是2的倍數。（在國小階段，討論倍數問題時，並不包含0）。,11,.,一4、公因數,本課程透過探討兩個量是否有共同組成的單位量的方式，引入公因數的啟蒙問題。,12,.,情境1：,探討兩個量是否有共同組成的單位量方式（第九冊）,例：先找出12個女生所有可能的方陣排列方式，接著在找出18個男生所有可能的方陣排列方式，最後再要求將兩個呈方陣的隊伍接起來，能夠排成一個大方陣的限制下，討論男女生每排的人數要一樣(相同的單位量）才能將隊伍接起來，來探討公因數問題。,13,.,情境2,（第九冊）,透過包含除及等分除的情境問題，先要求學童分別找出兩相異量各自的可能等分組的方式，再透過比較各自的等分組方式，解決等組的可能數值問題。,14,.,情境3（第十冊）,在倍的問題情境下，給定兩總量，透過比較各自可能的單位量數值，找出相同單位量的可能數值。,15,.,學童的公因數的解題策略：,先分別求出兩數的可能因數，再由其中找出共同的因數,先找出某一數的所有因數，再判斷這些因數是否為另一數的因數,16,.,一5、公倍數,以探討一個指定正整數有哪些倍數為基礎，可以探討兩個正整數有哪些共同的倍數的問題，這些共同的倍數稱為公倍數。,本課程在數的情境下，要求學童分別求出兩數（例如3與4）在某一數量範圍內的倍數，透過兩數各自的倍數的比較活動，引入公倍數的意義：12是3的倍數，12也是4的倍數，所以12是3和4的公倍數。,17,.,公倍數的解題策略,先分別求出兩數在某一數範圍內所有的倍數，再由其中找出共同的倍數,先找出某一數在某一數量範圍內所有的倍數，再判斷這些倍數是否為另一數的倍數。,18,.,二、加、乘法交換律、結合律，乘法對加法的分配律,加法交換律,乘法交換律,乘法對加法的分配律,結合律,19,.,二1、加法交換律,加法交換律是指被加數與加數的角色互換其運算結果不變,低年級在併加問題情境下，最容易接受加法交換律的現象。,例：5朵紅花和7朵黃花一共是幾朵花,加法交換律只有在特定的數量組合下，使用往上數策略（累進性合成運思）解題，才能簡化計算過程。,20,.,二2、乘法交換律,1.乘法問題：算式應確實的反應解題紀錄，怎麼算就怎麼記,(例）,以3個輪子為單位量,1個3是3,2個3是6,3個3是9,4個3是12,記成3 4=12,21,.,以4個輪子為單位量(分屍法）,1個4是4,2個4是8,3個4是12,記成4,3=12,22,.,2.乘法交換律是指乘數與被乘數位置交換，其結果不變。換句話說，單位量與單位數的角色互換，而不影響對全體意義的掌握。,3.每一個乘法問題都有兩種做法（但不是一種解法可以有2種不同記法）,23,.,4.思考問題：一隻青蛙四條腿，,3,隻青蛙幾條腿？當學童記成,3 4=12,時，是否該給分,?,作者建議：上課從嚴，評量從寬,24,.,二3、乘法對加法的分配律,左分配律,（33+3）3=（33 3）+（3 3),右分配律,12,（5+4）=（12 5）+（12 4）,25,.,以算式填充題為例：,7,32=（）,7 1 0=70,7 20=140,7 30=210,7 31=217,7 32=224,解題策略：又10倍，又1倍，往上數策略,7 30=210,7 2=14,210+14=224,學童已學會乘法對加法的分配律來簡化解題活動,解法一,解法二,26,.,二4結合律,加法結合律(a+b)+c=a+(b+c),加法兩步驟問題 82年版第九冊,乘法結合律(ab)c=a(bc),乘法兩步驟問題 82年版第11冊,例：一個貨櫃裝78個箱子，每個箱子裡有27輛玩具車，,明耀,公司出口了34個貨櫃的玩具車到美國，請問這些玩具車的總數？,27,.,三、列式活動,加數未知（追加型）問題,小明有5元，爸爸再給他幾元，小明就有8元？,低年級學童通常用5+3=8來紀錄解題活動，因其加減互為逆運算的概念尚未成熟，無法使用減法紀錄解題活動。,第六冊開始協助學童使用減法策略來解決追加型的問題。並要求兒童使用標準算式填充題。,28,.,四、等號的意義,思考問題：教室裡原有9人走掉4人，又來3人，現在教室裡有多少人？,第一種記法：,9-4=5,5+3=8,9-4+3=8,9-4+3=5+3=8,中低年級教材，希望的解法,逐次減項的記法（需在併式記錄後才接受這種算法）,第二種記法：,第三種記法：,第八冊引入併式記錄後的摘要記法,29,.,教室裡原有9人，走掉4人，又來3人，現在教室裡有多少人？,第四種記法,9-4=5+3=8,第五種記法,9,4,5,+3,8,這兩種記法是否合理？,“=”和“橫線”是否都表示等於的意思？,30,.,等號的意義,第一階段：得到答案是,例一：5+3=8（,5個蘋果和3個蘋果合起來是8個蘋果,）,例二：235=4.3,第二階段：等價關係,例一：5+3=8（,透過天平的比較活動,，,5個蘋果和3個蘋果合起來,和8個蘋果一樣多,）,例一：23=54+3,（,為避免兒童使用記法四的紀錄格式，本教材要求兒童使用兩步驟算式）,31,.,五、電算器,N-1-3能理解加減法的意義，解決生活中有關三位數以內的加、減法問題，並運用電算器加以檢驗。,N-2-2延伸加、減、乘、除與情境的意義，使能適用來解決更多的生活情境問題，並能用計算器處理大量的計算。,教學注意事項：,電算器如何獲得答案是看不到的，也不能做合理性討論，故應讓學童了解電算器不是用來解決數學問題的，電算器只能幫助計算。,32,.,六、兩（多）步驟問題,整數兩步驟問題,整數多步驟問題,分小數兩（多）步驟問題,形成括號先算，先乘除後加減與最左往右依序運算的共識,33,.,六1、整數兩步驟問題,加、減兩步驟問題,先引入併式紀錄，幫助學童在併式中使用小括號辨別運算次序,（8+5）6=7,使用併式填充題記錄問題,（8+5）6 =（）,最後引入逐次減項的記法紀錄解題過程,透過等號的遞移性將解題過程記為,（8+5）6=13 6=7,34,.,加（減）、乘兩步驟問題,本教材先引併式紀錄，,暫不要求使用併式填充題,（第九冊）,加（減）、乘兩步驟問題、和乘、除兩步驟問題,所有與兩數的商式有關的問題，都延至第十冊才出現,35,.,六2、整數多步驟問題,引入中括號,透過等號的遞移性，使用逐次減項的記法（解題時，要求紀錄五件事）,以,(17-5)-7+8=（）為例：,用算式把第一步的做法和答案記下來：17-5=12,用算式填充題把還要做什麼記下來：,12-7,+8=（）,用算式把第二步的做法和答案記下來：12-7=5,用算式填充題把還要做什麼記下來：5+8=（）,用算式把第三步的做法和答案記下來：5+8=13,最後形成逐次減項的紀錄,(17-5)-7+8=,12-7,+8=5+8=13,36,.,六3 分、小數兩（多）步驟問題,11冊引入分數兩步驟問題，只要求解題，不要求使用逐次減項的記法,12冊引入分、小數兩,（多）,步驟問題,先用併式填充題記錄兩步驟問題,再用逐次減項的記法，記錄解題過程,37,.,六4、括號先算，先乘除後加減與最左往右依序運算的共識,學習併式填充題記路問題時，要先形成使用括號區別運算次序的共識,掌握運算次序後，才開始學習如何省略括號。但心中還是要有括號。,最後再透過先乘除後加減與最左往右依序運算的共識來省略括號，並溝通各個運算的次序,38,.,