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专题一 三角函数与平面向量
一．专题综述
三角函数高中数学传统的内容，而平面向量则是新添内容，现在高考对这两部分的考查完美的体现了传统和现代的结合。
1.考纲要求
三角函数 ：
（1）能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简 ；
（2）理解和掌握三角函数的图像及性质 ；
（3）能用正弦定理、余弦定理解三角形问题 。
平面向量 ：
（1）能灵活运用向量的数量积解决有关问题 ；
（2） 理解和掌握向量的几何运算、坐标运算 ；
（3） 理解和掌握平面向量的平行和垂直关系。
2.考题设置与分值：
高考对这两部分的考试一般有1-2个客观题和1个解答题（第16题总分值20分左右；
3.考试重点及难度：
（1）三角函数主要考查:
①灵活运用公式的能力,特别是单项化公式;
②在客观题中，突出考察三角函数的图像和性质;
③解三角形也是高考的一个重点.
（2）平面向量的考察侧重：
①平面向量的运算，特别是数量积的运算（坐标运算）；要关注各种运算的几何意义和物理意义，要善于在几何图形中寻求各向量的关系；
②向量的平行、垂直的充要条件的运用；
（3）三角函数与平面向量的综合：
将三角函数和向量综合在一起进行考查是现在高考的趋势（解答题16题），这体现了在知识的交汇点命题的原则，由于这种题放在16题的位置，是较容易的题
总之，高考对三角和向量的考查小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。
二．考点选讲

【考点1】三角函数的图像和性质
【例1】已知函数则下列对函数的判断正确的是（ ）
A．周期为,其图像的一个对称中心是；
B．周期为,其图象的一个对称中心是
C．周期为,其图象的一个对称中心是；
D．周期为,其图象的一个对称中心是
【解析】=
所以，对称中心是。所以选B。
【注】:本题考查三角函数的简单变形和三角函数图像的基础知识。

【练习1】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是__________。

【练习2】函数的图象如图，则的解析式和
的值分别为（ ）

A． ，
B． ，
C． ，
D． ，

【考点2】三角公式的灵活运用
【例2】已知，，=，
=，求的值.
【解析】
，又
，
又，
∴= ,
∴

=

【注】本题考查三角函数的有关运算，特别是分析其中三角函数式的差异、角的差异，利用所学公式进行合理变形 。

【考点3】解三角形

【例3】如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．测得：
米，并在点 测得塔顶的仰角为，则塔高AB=

【解析】由题意得

（米）
【注】:在2007年的课改区高考试题中，十分重视弘扬和发展学生的数学应用意识.新课标卷更注意数学应用意识和实践能力的考查，试题设计更加注意贴近生活实践.

【练习1】已知三角形的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设，
（1） 若，求证：△ABC为等腰三角形
（2） 若，边长c=2，角，求△ABC的面积。
【考点4】向量的运算与应用

【例4】已知△中，过重心的直线交边于，交边于，设△的面积为，△的面积为，，，则：
（ⅰ）——————
（ⅱ）的取值范围是 .

【解析】设，，，，因为是△的重心，故
，
又，
，因为与共线，所以，
即，又与不共线，所以及，消去，得.
（ⅰ），故；
（ⅱ），那么

，
当与重合时，，当位于中点时，， 故，故但因为与不能重合，故

【练习1】过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
【练习2】已知P是内一点，且满足0，记、、的面积依次为、、，则：：等于（ ）
A、1：2：3 B、1：4：9
C、：：1 D、3：1：2

【考点5】三角与向量的综合
【例5】已知向量，．
（1）当，且时，求的值；
（2）当，且∥时，求的值．
【练习1】：已知向量.
（1）当的值。
（2）求的最小正周期和单调递增区间。

【练习2】已知向量==（cos，sin），，其中O为坐标原点，且
（1）若求的值；
（2）若求△OAB的面积

【练习3】三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，
, 若．
（1）求角B的大小；
（2）求的取值范围．

三角函数与平面向量综合测试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，，则（　　）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
3. 条件甲，条件乙，那么 （ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的充要条件
C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
5. 若函数f(x)=sinx, x∈[0, ], 则函数f(x)的最大值是 ( )
A. B. C. D.
6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( )
A.-2 B.2 C.1 D.-1
7. 、为锐角a=sin()，b=，则a、b之间关系为 （ ）
A．a＞b B．b＞a C．a=b D．不确定

8. 下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））

9. （A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则 （ ）
A．一定是奇函数 B．一定是偶函数
C．一定是奇函数 D．一定是偶函数
10. 使（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ）
A． B． C．π D．
11、在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值有 ( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
12. 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1， l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13．若tan=2，则2sin2－3sincos= .
14．若－，∈（0，π），则tan= .
B
A
C
D
15. 如右图，在中，是边上一点，则.

16．2002年在北京召开的国际数学家大会，
会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．
弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成
的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，
大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，
那么的值等于 ．

三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分)
已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．
(1)若,求c的值； (2)若C=5，求sin∠A的值．

18. (本小题满分12分)
已知函数R.
(I)求函数的最小正周期；
(II)求函数在区间上的最小值和最大值.

19．(本小题满分12分)

如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．

20. (本小题满分12分)
若函数在(0, 2π)内有两个不同零点、.
(Ⅰ)求实数的取值范围;
(Ⅱ)求的值.
21. (本小题满分12分)设函数，其中向量，，
（Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
22．(本小题满分14分)已知函数，．
（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（II）求函数的单调递增区间．

三角函数与平面向量综合测试题参考答案

1. D 由,逐一验证即可得出结果.
2. Ｃ 此题以三角函数为背景,考查命题的否定 : 全称命题的否定为特称命题,否定形式是改全称量词为特称量词,同时还须否定结论.由此不难得到答案.
3. D , 故选D
4．是所在平面内一点，为边中点，∴ ，且，∴ ，即，选A
5. D 函数f(x)=sinx, ∵x∈[0, ],∴x∈[0, ],∴sinx

6. B (1+tan25°)(1+tan20°)=1+

7. B ∵、为锐角∴
又sin()=<
∴

8．解答：①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．
【点评】 本题通过五个小题全面考查三角函数的有关概念、图象、性质的基础知识. 三角函数的概念，在今年的高考中，主要是以选择、填空的形式出现，每套试卷都有不同程度的考查.预计在2008年高考中，三角函数的定义与三角变换仍将是高考命题的热点之一.

9. D ∵（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值
∴在x=0处取最大值, 即y轴是函数的对称轴
∴函数是偶函数

10. A 要使（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值
只需要最小正周期1,故

11.【答案】B
【解析】解法一：
（1） 若A为直角，则；
（2） 若B为直角，则；
（3） 若C为直角，则。
所以 k 的可能值个数是2，选B
解法二：数形结合．如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B

12.解答：D 因为l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，
l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，所以过A作
l2的垂线，交l2、l3分别于点D、E，如图，则∠BAD=
∠BAC+∠CAE，即∠BAD=60°+∠CAE,记正三角形ABC
的边长为a,两边取余弦得：
，
即
整理得，故选D.
【点评】 本题以平面几何为平台，主要考查运用三角函数的相关知识解决实际问题的能力.本题意图与新课标接轨，需引起高三备考学生的密切关注.

13． 2sin2－3sincos=
14．或 ∵－>1，且∈（0，π）∴∈（，π）
∴ (－
∴2sincos=
∴+
∴sin= cos=或sin= cos=
tan=或

15.【答案】
【分析】由余弦定理得可得，
又夹角大小为，，
所以 .
16．图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴ 每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a, b，则，
∴ 两条直角边的长分别为3，4，直角三角形中较小的锐角为，cosθ=，
cos2θ=2cos2θ－1=.

17.【解析】(1)
由可得, 解得
(2)当时,可得, ΔABC为等腰三角形
过作交于,可求得
故
(其它方法如①利用数量积求出进而求;②余弦定理,正弦定理等!)

18.【分析】.
因此，函数的最小正周期为.
(II)解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，
又
故函数在区间上的最大值为最小值为.
解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：

由图象得函数在区间上的最大值为最小值为.
【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.

19．解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．
又因为，，，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．

20.解: (Ⅰ)∵sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2 sin(x+),
而函数在(0, 2π)内有两个不同零点等价于关于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解
∴方程化为sin(x+)=-.
∵方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)内有相异二解,
∴sin(x+)≠sin= .
又sin(x+)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解),
∴|-|<1 . 且-≠. 即|a|<2 且a≠-.
∴ a的取值范围是(-2, -)∪(-, 2).
(Ⅱ) ∵α、 β是方程的相异解,
∴sinα+cosα+a=0 ①.
sinβ+cosβ+a=0 ②.
①-②得(sinα- sinβ)+( cosα- cosβ)=0.
∴ 2sincos-2sinsin=0, 又sin≠0,
∴tan=.
∴tan(α+β)==.

21. 分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。
解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.
（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，
于是d＝（，－2），k∈Z.
因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.
点评：三角函数，三角形问题相结合也是一个很好的命题素材，主要考查向量的数量积、正弦定理、余弦定理与三角函数等基础知识．在这种试题中一般考查学生的转化化归思想，要求学生利用三角形的几何特性，通过构造向量，将解三角形的问题转化化归为向量的基本关系和基本运算．

22．解：（I）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．
所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（II）
．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）．
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