实数、整式及因式分解、代数式专项复习.doc

代数式及其运算专项复习
（一）重要概念
0
实数
负数
整数
分数
无理数
有理数
正数
整数
分数
无理数
有理数
1．数的分类及概念
实数
无理数(无限不循环小数)
有理数
正分数
负分数
正整数
0
负整数
(有限或无限循环性数)
整数
分数
正无理数
负无理数

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏） 2）有标准

│a│

(a≥0)
(a为一切实数)
2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）
常见的非负数有：

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。
3．数轴：①定义（“三要素”）
②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

4．奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数）

5．绝对值：①定义（两种）：
a(a≥0)
-a(a<0)
│a│=
代数定义：

几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。
②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;
③数a的绝对值只有一个;
④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

6.同类项及其合并
条件：①字母相同;②相同字母的指数相同
合并依据：乘法分配律

7．幂的运算性质：①·=;②÷=;③=;④=;⑤
零指数：（a≠0）； 负整数指数：（a≠0，n为正整数）；技巧：

8．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
9．乘法公式：（正、逆用）
（a+b）（a-b）=
10．除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

11．因式分解：⑴定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式;
⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;
12.分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．
13．分解因式时常见的思维误区：
⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．
⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．
(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

14. 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根
立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．
15.算术平方根
算术平方根与绝对值
① 联系：都是非负数，=│a│
②区别：│a│中，a为一切实数;中，a为非负数。
;
16.二次根式的化简：

17．最简二次根式应满足的条件：
（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．（2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号

18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
19．二次根式的乘法、除法公式：
（1）（2）
20．.二次根式运算注意事项：
（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。
防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．
（2）二次根式的乘除法常用乘法或除法公式来简化计算，结果一定写成最简二次根式或整式．

（二）、知识应用
一、选择题
１、下列各数中是负数的是（　　）
A、－(－3) B、－(－3)2 C、－(－2)3 D、|－2|
２、在π，－，，3.14，，sin30°，0 各数中，无理数有（　　）
A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个
３、绝对值大于 1 小于 4 的整数的和是（　　）
　　A、0 B、5 C、－5 D、10
４、下列命题中正确的个数有（　　）
　①实数不是有理数就是无理数　　　② a＜a＋a　　　　③121的平方根是 ±11
④在实数范围内，非负数一定是正数　　　　　⑤两个无理数之和一定是无理数
　A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个
５、天安门广场的面积约为 44 万平方米，请你估计一下，它的百万之一大约相当于（　　）
A、教室地面的面积 B、黑板面的面积
　　C、课桌面的面积 D、铅笔盒面的面积
６、已知| x |＝3，| y|＝7，且 xy＜0，则 x＋y 的值等于（　　）
　　A、10 B、4 C、±10 D、±4
7、下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
8.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
9.下面的多项式中，能因式分解的是（）
A. B. C. D.
10.某企业今年3月份产值为万元，4月份比3月份减少了10％，5月份比4月份增加了15％，则5月份的产值是（ ）
A.（－10％）（+15％）万元 B. （1－10％）（1+15％）万元
C.（－10％+15％）万元 D. （1－10％+15％）万元
11．下列计算正确的是
A．a＋a＝2a B．b3·b3＝2b3 C．a3÷a＝a3 D．(a5)2＝a7
12．下面的计算正确的是（　　）
　　A．6a﹣5a=1　　B．a+2a2=3a3　　C．﹣（a﹣b）=﹣a+b　　D．2（a+b）=2a+b
13.）下列运算中，正确的是（　　）
A．3a2﹣a2=2 B．（a2）3=a5 C．a3•a6=a9 D．（2a2）2=2a4
14.）计算﹣2a2+a2的结果为（　　）
A．﹣3a B．﹣a C．﹣3a2 D．﹣a2
15．下列计算正确的是（　　）

A.（a4）3=a7 B．3（a﹣2b）=3a﹣2b C. a4+a4=a8 D．a5÷a3=a2

16、下列运算中，结果正确的是 （ ）
A. B. C. D.
17．已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（　　）
　 A． 10 B． 6 C． 5 D． 3
18．在下列代数式中，次数为3的单项式是（　　）
　 A． xy2 B． x3+y3 C． ．x3y D． ．3xy
19．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣p2q）3=﹣p5q3　　B．（12a2b3c）÷（6ab2）=2ab　　
C．3m2÷（3m﹣1）=m﹣3m2　　D．（x2﹣4x）x﹣1=x﹣4
20.如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）.
A． B． C． D．

21.下列等式不成立的是（ ）
A.m2－16=(m－4)(m+4) B.m2+4m=m(m+4)
C.m2－8m+16=(m－4)2 D.m2+3m+9=(m+3)2
22．下列计算正确的是（ ）
A.a2＋a3＝a5 B. a6÷a3＝a2
C. 4x2－3x2＝1 D.(－2x2y)3＝－8 x6y3
23.若，则（ ）
A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值
24.把四张形状大小完全相同的小正方形卡片（如图）不重叠的放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长和是
A． 4mcm B． 4ncm C． 2(m＋n)cm D． 4(m－n)cm

25.下列四个多项式，哪一个是的倍式？( )
A． 　　　B． 　　　C．　　　 D．
26.下列运算正确的是（ ）.
A.a+b=ab B.a2·a3=a5 C.a2+2ab－b2=(a－b)2 D.3a－2a=1
27.下列计算正确的是（ ）
Ａ． B． C． D．
28.下列运算不正确的是（ ）
A． B． C． D．
29.如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（ ）

A．5n B．5n－1 C．6n－1 D．2n2＋1
30.若x，y为实数，且，则的值是
A.0 B.1 C.－1 D.－2011
31．下列运算正确是（ ）
A． B． C． D．
32.已知a － b =1，则代数式2a －2b －3的值是
A．－1 B．1 C．－5 D．5
33．下列运算结果等于1的是( )
A． B． C． D．
34．）德州市2009年实现生产总值（GDP）1545.35亿元，用科学记数法表示应是（结果保留3个有效数字）
（Ａ） 元 （Ｂ）元 （Ｃ）元 （Ｄ）元
35．今年4月14日，我国青海省玉树发生了7.1级强烈地震．截至4月18日，来自各方参加救援的人员超过了17600人．那么，17600这个数用科学记数法表示为 ( )
A.176´102 B.17.6´103 C. 1.76´104 D. 0.176´105
36．数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为　　　
A. 或 B. 6 C. D. 或
37．下列计算正确的是　( )　　　
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
38.下列实数中，是无理数的为( )
A. 3.14 B. C. D.
39． 28 cm接近于( )
A．珠穆朗玛峰的高度 B．三层楼的高度 C．姚明的身高 D．一张纸的厚度
40.比较2，，的大小，正确的是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题
1、2的平方根是　 　 2、计算-=　 3、写一个比大的整数是
4、扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是　 　．
5、计算= ．
6、若代数式﹣4x6y与x2ny是同类项，则常数n的值为　 　．
7. 当x=10，y=9时，代数式x2－y2的值是 ．
8．多项式 与m2＋m－2的和是m2－2m．
9.定义新运算“”，规定：ab=a－4b，则12 (－１)＝　　　．
10、计算： a4·a2= .
11.体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个足球a元，一个篮球b元。则代数式500－3a－2b表示的数为 。
12.若，，则的值为 ．
13.某服装原价为a元，降价10%后的价格为 ▲ 元．
14.多项式是 次 项式．
15．若则x+y的值为__．
16. 若，且，则　　．
17.已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了，结果得，则＝　　　　.
18. 千克浓度为﹪的某溶液中溶剂的质量为 千克.
19.观察一列单项式：，，，，… 根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第个单项式为 ．
20.如图，直线l上有2个圆点A，B．我们进行如下操作：第1次操作，在A，B两圆点间插入一个圆点C，这时直线l上有（2＋1）个圆点；第2次操作，在A，C和C，B间再分别插入一个圆点，这时直线l上有（3＋2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l上有（5＋4）个圆点；…第n次操作后，这时直线l上有 个圆点．

21、计算=　 　
22、若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y的值=　 　
23、若代数式可化为，则的值是 ．
24、观察数表

根据表中数的排列规律，则B+D=　 　．
25、计算：= ； =
26、已知a－3b=3，则8－a+3b的值是________.
27.有名男生和名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了块，女生每人搬了块，这 名男生和名女生一共搬了＿＿＿＿＿＿块砖（用含、的代数式表示）．
28.因式分解：_______________．
29、若，，则___________。
30、因式分解：2mx2－4mx＋2m＝
31、因式分解：9x2－y2－4y－4＝ ．
32、若代数式可化为，则的值是 ．
33、已知、为两个连续的整数，且，则=________。
34、已知：一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ．
35、有足够多的长方形和正方形卡片，如下图：
a
a
b
b
b
a
1
2
3

1
2
2
3
3
3
(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义。

这个长方形的代数意义是______________________________________________________
(2)小明想用类似方法解释多项式乘法，那么需用2号卡片___________张，3号卡片_______________张；
三、解答题
1、计算： 2、计算

3、 4、．

5、

6、﹣|| 7、

8、先化简，再求值．（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣．

9、已知，求代数式的值．

10、先化简，再求值：（x＋1）2－（x＋2）（x－2），其中＜x＜，且x是整数。

11、给出三个整式a2、b2和2ab．
　　（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；
（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．

12、先化简，再求值：，其中.

13、⑴、　　　 　⑵、　　

14、先化简再求值：
．其中．

15、已知，求代数式的值．

16、已知是关于x，y的二元一次方程的解.
求(a＋1)(a－1)＋7的值

17、如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；
（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；
（3）求第n行各数之和．

18、我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
…………………………（a+b）1
…………………………（a+b）2
…………………………（a+b）3
……………………

（1）根据上面的规律，写出的展开式。
（2）利用上面的规律计算：

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