北京市房山区2010-2011学年度第一学期期末教学统一检测高三数学理科.doc

房山区2010-2011学年度统练试卷
高三数学（理）
考
生
须知
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分,考试时间为120分
钟 ．
2. 试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求保存好．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）.
1. 已知全集，集合，，那么集合 ( )
A． B．
C． D．
2.是虚数单位，若，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
3.已知平面向量，满足，，与的夹角为，若，则实数的值
为 （ ）
A． B． C． D．
4. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如下图所示
甲
茎
乙
5 7
1
6 8
8 8 2
2
3 6 7
设分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员测试成
绩的平均数，则有 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
5.已知表示两个不同的平面，a，b表示两条不同的直线，则a∥b的一个充分条件是 （ ）
A．a∥, b∥ B．a∥，b∥，∥
C．⊥，a ⊥，b ∥ D．a⊥，b⊥，∥

6.的展开式中常数项为 （ ）
A． B． C． D．
7.已知数列的通项公式,设其前n项和为，则使成立的自然
数有　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　 ）
　A．最大值15　　　B．最小值15　　C．最大值16　　　D．最小值16
8.已知集合 ，，定义函数． 若点，，，的外接圆圆心为D，且 ，则满足条件的函数有 （ ）
A．6个 B．10个 C．12个 D．16个
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.
9.函数的最小正周期是____ ___，最大值是____ ______．

开始

否
输出S
结束
是
10.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填 ．

11. 如图，已知是⊙O的切线，切点为，交⊙O于、两点，，，
，则的长为__ ___，的大小为___ _____．

12.在平面直角坐标系中，设是由不等式组表示的区域，是到原点的距离
不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点落在中的概率是 　　 　．
13.已知圆C的圆心是直线与x轴的交点，且圆C与直线相切，
则圆C的方程为 ．
14.如图所示，是定义在区间（）上的奇函数，令，并有关于
函数的四个论断：
①若，对于内的任意实数（），恒成立；
②函数是奇函数的充要条件是；
③若，，则方程必有3个实数根；
④，的导函数有两个零点；
其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
15.（本小题共13分）
在中，角A、B、C的对边分别为、、，角A、B、C成等差数列，，边的长为．
（I）求边的长；
（II）求的面积．

16．（本小题共13分）
已知正方形ABCD的边长为1，．将正方形ABCD沿对角线折起，使，得到三棱锥A—BCD，如图所示．
（I）若点M是棱AB的中点，求证：OM∥平面ACD；
（II）求证：；
（III）求二面角的余弦值．

17.（本小题共13分）
某同学设计一个摸奖游戏：箱内有红球3个，白球4个，黑球5个．每次任取一个，有放回地抽取3次为一次摸奖．至少有两个红球为一等奖，记2分；红、白、黑球各一个为二等奖，记1分；否则没有奖，记0分．
（I）求一次摸奖中一等奖的概率；
（II）求一次摸奖得分的分布列和期望．

18．（本小题共13分）
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为的直线与圆相交于不同的两点．
（Ⅰ）求圆的面积；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说
明理由．

19．（本小题共14分）
设函数．
（Ⅰ）求函数的定义域及其导数；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，令，若在上的最大值为，求实数的
值．

20．（本小题共14分）
已知数列中，，设．
（Ⅰ）试写出数列的前三项；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅲ）设的前项和为，求证：．

房山区高三统练阅卷参考答案 (数学理科)

才
1 [B]
2 [C]
3 [D]
4 [B]
5 [D]

单
选
题

6 [A]
7 [D]
8 [C]

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）.
9. ， .
10. .
11. ，.
12. .
13. .
14. ①② （只写出1个正确序号得2分，有错误序号不得分）.

三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
15.（本小题共13分）
解：（I）角A、B、C成等差数列，2B=A+C. ---------------------1分

A+C=，
3B=，B=. -------------------2分
法一：
， ，.---------------------3分
又， ，
. ---------------------4分
法二：
， 由，得. ---------------------3分
又， ，
. ---------------------4分
由正弦定理得 ，
， ----------------------6分
. ---------------------7分
（II） ----------------------8分
---------------------11分
或者 ----------------------8分
---------------------11分
的面积.
---------------------13分

16．（本小题共13分）

解：(I) 在正方形ABCD中，是对角线的交点，
O为BD的中点， -------------------1分
又M为AB的中点，
OM∥AD. ---------------------2分
又AD平面ACD，OM平面ACD， ---------------------3分
OM∥平面ACD. ---------------------4分
（II）证明：在中，，， ---------------------5分
，. ---------------------6分
又 是正方形ABCD的对角线，
， --------------------7分
又. --------------------8分
（III）由（II）知，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，以O为原点，建立
空间直角坐标系.
则，
是平面的一个法向量. --------------------9分
，，
设平面的法向量,则，.
即， --------------------11分
所以且令则，，解得.
--------------------12分
从而，二面角的余弦值为.
---------------------13分

17.（本小题共13分）
解：（I）每次有放回地抽取，取到红球的概率为；取到白球的概率为；取到
黑球的概率为； ---------------------3分
一次摸奖中一等奖的概率为． ---------------------5分
（II）设表示一次摸奖的得分，则可能的取值为0，1，2． ---------------------6分
；
； ---------------------8分
--------------------10分
一次摸奖得分的分布列为

2
1
0
P

---------------------11分
期望为． ---------13分

18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）圆的方程可化为，可得圆心为，半径为2，
故圆的面积为． ---------------------3分
（Ⅱ）设直线的方程为．
法一：
将直线方程代入圆方程得，
整理得．　① -------4分
直线与圆交于两个不同的点等价于
， ---------------------6分
解得，即的取值范围为． ---------------------8分
法二：
直线与圆交于两个不同的点等价于
---------------------5分
化简得，
解得，即的取值范围为． ---------------------8分
（Ⅲ）设，则，由方程①，
　　　　 ②
又．　 ③ ---------------------10分
而．
所以与共线等价于， ---------------------11分
将②③代入上式，解得． ---------------------12分
由（Ⅱ）知，故没有符合题意的常数. ---------------------13分

19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由得，即函数的定义域为（0,2）； ---------------------2分
． ---------------------4分
（Ⅱ）当时，
（1）当时，，所以在区间上，，
故函数的单调递增区间是； ---------------------5分
（2）当时，令，解得，
①当时，即时，在区间上，，
故函数的单调递增区间是； ---------------------7分
②当时，即时，在区间上，，
在区间上，，故函数的单调递增区间是
，单调递减区间是． ---------------------9分
（Ⅲ） 当且时，，
--------------------11分
即函数在区间上是增函数，故函数在上的最大值为，
--------------------12分
所以，即． ---------------------14分

20．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由，得，.
由，可得，，. --------------3分
（Ⅱ）证明：因，故
. ---------------------5分
显然，因此数列是以为首项，以2为公比的等比数列，即. ---------------------7分
解得. ---------------------8分
（Ⅲ）因为
,
所以
；
---------------------11分
又（当且仅当时取等号），故
.
综上可得. ---------------------14分