初中数学竞赛讲座(第10讲)整式的乘法与除法.doc

第十讲 整式的乘法与除法
中学代数中的整式是从数的概念基础上发展起来的，因而保留着许多数的特征，研究的内容与方法也很类似．例如，整式的四则运算就可以在许多方面与数的四则运算相类比；也像数的运算在算术中占有重要的地位一样，整式的运算也是代数中最基础的部分，它在化简、求值、恒等变形、解方程等问题中有着广泛的应用．通过整式的运算，同学们还可以在准确地理解整式的有关概念和法则的基础上，进一步提高自己的运算能力．为此，本讲着重介绍整式运算中的乘法和除法．
　　整式是多项式和单项式的总称．整式的乘除主要是多项式的乘除．下面先复习一下整式计算的常用公式，然后进行例题分析．
　　正整数指数幂的运算法则
　　(1)aM· an=aM+n； (2)(ab)n=anbn；
　　(3)(aM)n=aMn； (4)aM÷an=aM-n(a≠0，m＞n)；

　　常用的乘法公式：
　　(1)(a+b)(a+b)=a2-b2；
　　(2)(a±b)2=a2±2ab+b2；

　　(4)(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；　　
　　(5)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
　　例1 求[x3-(x-1)2](x-1)展开后，x2项的系数 ．
　　解 [x3-(x-1)2](x-1)=x3(x-1)-(x-1)3．因为x2项只在-(x-1)3中出现，所以只要看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数即可．根据乘法公式有
(1-x)3=1-3x+3x2-x3，
　　所以x2项的系数为3．
　　说明 应用乘法公式的关键，是要理解公式中字母的广泛含义，对公式中的项数、次数、符号、系数，不要混淆，要达到正确、熟练、灵活运用的程度，这样会给解题带来极大便利．

　　(x-2)(x2-2x+4)-x(x+3)(x-3)+(2x-1)2．
　　解 原式=(x3-2x2+4x-2x2+4x-8)-x(x2-9)+(4x2-4x+1)
　　　　 　=(x3-4x2+8x-8)-(x3-9x)+(4x2-4x+1)
　　　　　 =13x-7=9-7=2．
　　说明 注意本例中(x-2)(x2-2x+4)≠x3-8．
　　例3 化简(1+x)[1-x+x2-x3+…+(-x)n-1]，其中n为大于1的整数．
　　解 原式=1-x+x2-x3+…+(-x)n-1
　　　　　　　+x-x2+x3+…-(-x)n-1+(-x)n
　　　　　 =1+(-x)n．
　　说明 本例可推广为一个一般的形式：
(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn．
　　例4 计算
　　(1)(a-b+c-d)(c-a-d-b)；
　　(2)(x+2y)(x-2y)(x4-8x2y2+16y4)．
　　分析与解 (1)这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数，所以可考虑应用平方差公式，分别把相同项结合，相反项结合．
　　原式=[(c-b-d)+a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2
　　 　　=c2+b2+d2+2bd-2bc-2cd-a2．
　　(2)(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2，这个结果与多项式x4-8x2y2+16y4相乘时，不能直接应用公式，但
x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2
　　与前两个因式相乘的结果x2-4y2相乘时就可以利用立方差公式了．
　　原式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3
　　　　=(x2)3-3(x2)2(4y2)+3x2·(4y2)2-(4y2)3
　　　　=x6-12x4y2+48x2y4-64y6．
　　例5 设x，y，z为实数，且
(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=(y+z-2x)2+(x+z-2y)2+(x+y-2z)2，

　　解 先将已知条件化简：
左边=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz，
右边=6x2+6y2+6z2-6xy-6yz-6xz．
　　所以已知条件变形为
2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz=0，
　　即 　　　　　　　　　　　　　　　　(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0．
　　因为x，y，z均为实数，所以x=y=z．所以

　　说明 本例中多次使用完全平方公式，但使用技巧上有所区别，请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来益处．
　　我们把形如
anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
　　(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…表示一元多项式．
　　多项式的除法比较复杂，为简单起见，我们只研究一元多项式的除法．像整数除法一样，一元多项式的除法，也有整除、商式、余式的概念．一般地，一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总存在一个商式q(x)与一个余式r(x)，使得f(x)=g(x)q(x)+r(x)成立，其中r(x)的次数小于g(x)的次数．特别地，当r(x)=0时，称f(x)能被g(x)整除．
　　例6 设g(x)=3x2-2x+1，f(x)=x3-3x2-x-1，求用g(x)去除f(x)所得的商q(x)及余式r(x)．
　　解法1 用普通的竖式除法

　　解法2 用待定系数法．
　　由于f(x)为3次多项式，首项系数为1，而g(x)为2次，首

r(x)= bx+ c．
　　根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，得
x3-3x2-x-1

　　比较两端系数，得

　　例7 试确定a和b，使x4+ax2-bx+2能被x2+3x+2整除．
　　解 由于x2+3x+2=(x+1)(x+2)，因此，若设
f(x)=x4+ax2-bx+2，
　　假如f(x)能被x2+3x+2整除，则x+1和x+2必是f(x)的因式，因此，当x=-1时，f(-1)=0，即
　　1+a+b+2=0， ①
　　当x=-2时，f(-2)=0，即
　　16+4a+2b+2=0， ②
　　由①，②联立，则有

练习十

　　1．计算：
　　(1)(a- 2b+c)(a+2b-c)-(a+2b+c)2；
　　(2)(x+y)4(x-y)4；
　　(3)(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)．
　　2．化简：
　　(1)(2x-y+z-2c+m)(m+y-2x-2c-z)；
　　(2)(a+3b)(a2-3ab+9b2)-(a-3b)(a2+3ab+9b2)；
　　(3)(x+y)2(y+z-x)(z+x-y)+(x-y)2(x+y+z)×(x+y-z)．
　　3．已知z2=x2+y2，化简
(x+y+z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y-z)．
　　4．设f(x)=2x3+3x2-x+2，求f(x)除以x2-2x+3所得的商式和余式．