广东省潮州市2012-2013学年第一学期期末质量检测高三理科数学试卷.doc

潮州市2012-2013学年度第一学期期末质量检测
高三理科数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
参考公式：
如果事件、互斥，那么
如果事件、相互独立，那么
棱柱的体积公式，其中、分别表示棱柱的底面积、高．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1．
A． B． C． D．
2．集合，，则
A． B． C． D．
3．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为
A． B． C． D．
4．不等式成立的一个充分不必要条件是
A．或 B．或 C． D．
5．对于平面和共面的两直线、，下列命题中是真命题的为
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则　 D．若、与所成的角相等，则
6．平面四边形中，，则四边形是
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
7．等比数列中，公比，记（即表示
数列的前项之积）， ，，，中值为正数的个数是
A． B． C． D．

8．定义域的奇函数，当时恒成立，若
，则
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二　填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．
9．某校有名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是，现用分层抽样的方法在全校抽取名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．

高一
高二
高三
女生

男生

10．如果实数、满足条件，那么的最大值为______．
开始

否
输出S
结束
是
题12图
11．在中角、、的对边分别是、、，若，
则___．
12．右图给出的是计算的值
的一个程序框图，其中判断框内应填入的条
件是___？
13．由数字、、、、组成无重复数字的
五位数，其中奇数有 个．
14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这
个正三棱柱的体积为__________．
2

左视图
主视图

俯视图

三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题共12分）已知函数，是的导函数．
（1）求函数的最小值及相应的值的集合；
（2）若，求的值．
16．（本题满分12分）
近年来政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．
小区
低碳族
非低碳族
频率

小区
低碳族
非低碳族
频率

（1）如果甲、乙来自小区，丙、丁来自小区，求这人中恰有人是低碳族的概率；
（2）小区经过大力宣传，每周非低碳族中有的人加入到低碳族的行列．如
果周后随机地从小区中任选个人，记表示个人中低碳族人数，求．
17．（本小题满分14分）
已知点、，若动点满足．
（1）求动点的轨迹；

（2）在曲线上求一点，使点到直线：的距离最小．
18．(本小题满分14分)已知梯形中，∥，，
，、分别是、上的点，∥，．
沿将梯形翻折，使平面⊥平面(如图)．是的
中点，以、、、为顶点的三棱锥的体积记为．
（1）当时，求证：⊥ ；
（2）求的最大值；
（3）当取得最大值时，求异面直线与所成的角的余弦值．

19．（本题满分14分）
数列中，前项和，，，…．
（1）证明数列是等差数列；（2）求关于的表达式；
（3）设 ，求数列的前项和．
20．（本题满分14分）二次函数满足，且最小值是．
（1）求的解析式；
（2）设常数，求直线： 与的图象以及轴所围成封闭
图形的面积是；
（3）已知，，求证：．

答案及评分标准：
：CCDD；CBBA；9．；10．；11．；12．；13．；14．．
以下是各题的提示：
1．．
2．，，所以．
3．双曲线的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则．
4．画出直线与双曲线，两图象的交点为、，依图知
或(*)，显然(*)；但(*)．
5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．
６．由，得，故平面四边形是平行四边形，
又，故，所以，即对角线互相垂直．
７．等比数列中，公比，故奇数项为正数，偶数项为负数，
∴，，，，选B．
8．设，依题意得是偶函数，当时，即恒成立，故在单调递减，则在上
递增，，，
．
又，故．
9．依表知，，于是，
，高二抽取学生人数为．
10．作出可行域及直线：，平移直线至可行域的点时
取得最大值．
11．由，得，
，故，
又在中，故，

12．考查循环结构终止执行循环体的条件．
13．．
14．由左视图知正三棱柱的高，设正三棱柱的底面边长，则，故，底面积，故．
15．解：（1）∵，故， …… 2分
∴
， ……… 4分
∴当，即时，取得最小值，
相应的值的集合为． ……… 6分
评分说明：学生没有写成集合的形式的扣分．
（2）由，得，
∴，故， …… 10分
∴． …… 12分
16．解：（1）设事件表示“这人中恰有人是低碳族”． …… 1分

． …… 4分
答：甲、乙、丙、丁这人中恰有人是低碳族的概率为； …… 5分
（2）设小区有人，两周后非低碳族的概率．
故低碳族的概率． ………… 9分
随机地从小区中任选个人，这个人是否为低碳族相互独立，且每个
人是低碳族的概率都是，故这个人中低碳族人数服从二项分布，即
，故． ………… 12分
17．解：（1）设动点，又点、，
∴，，． ……… 3分
由，得， ……… 4分
∴，故，即，
∴轨迹是焦点为、长轴长的椭圆； ……… 7分
评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣分．
（2）椭圆上的点到直线的距离的最值等于平行于直线：
且与椭圆相切的直线与直线的距离．
设直线的方程为． ……… 8分

由，消去得 （*）．
依题意得，即，故，解得．
当时，直线：，直线与的距离．
当时，直线：，直线与的距离．
由于，故曲线上的点到直线的距离的最小值为．…12分
当时，方程（*）化为，即，解得．
由，得，故． ……… 13分
∴曲线上的点到直线的距离最小． ……… 14分
18．（法一）（1）证明：作，垂足，连结，，
∵平面平面，交线，平面，
∴平面，又平面，故，
∵，，．
∴四边形为正方形，故．
又、平面，且，故平面．
又平面，故．

（2）解：∵，平面平面，交线，平面．
∴面．又由（1）平面，故，
∴四边形是矩形，，故以、、、为顶点的三棱
锥 的高，
又．
∴三棱锥
的体积






．
∴当
时，
有最大值为
．
（3）解：由（2）知当
取得最大值时
，故
，
由（2）知
，故
是异面直线
与
所成的角．
在
中
，
由
平面
，
平面
，故

在
中

，
∴
．
∴异面直线
与
所成的角的余弦值为
．
法二：（1）证明：∵平面
平面
，交线
，
平面
，
，故
⊥平面
，又
、
平面
，
∴
⊥
，
⊥
，又
⊥
，取
、
、
分别为
轴、

轴、
轴，建立空间坐标系
，如图所示．
当
时，
，
，又
，
．
∴
，
，
，
，
．
∴
，
，
∴
．
∴
，即
；　
（2）解：同法一；
（3）解：异面直线
与
所成的角
等于
或其补角．
又
， 故

∴
，故异面直线
与
所成的角的余弦值为
．
19．（1）证明：由
，得
．
∴
，故
．…２分
∴数列由
是首项
，公差
的等差数列； …… 4分
（2）解：由（1）得
．……… 6分
∴
； ………８分
（3）由（２），得
＝
＝
．…… 10分
∴数列
的前
项和
…１２分

． ……… 14分
20．解：（1）由二次函数
满足
．设
，
则
．　　　　　　　……………… ２分
又
的最小值是
，故
．解得
．
∴
； ………………４分
（2）依题意，由
，得
，或
．（
）……６分
由定积分的几何意义知

…… ８分

（3）∵
的最小值为
，故
，
． …… １０分

∴
，故
． ……… 12分
∵
，
， ……… 13分
∴

，
∴
． ……… 14分

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