1、一种带偏心简支压杆塑性失效载荷的求解方法
摘要：实际工程中的压杆都不是理想状态的，存在诸如偏心等问题，本文提出了在偏心压缩载荷作用下，压杆产生轴向和弯曲两种变形，最终由于强度不足而造成失效破坏的准则。利用这一准则求解了弹塑性状态下存在偏心缺陷压杆的失效载荷解析解，数值计算结果表明这一方法结果与经典结论一致。本文研究结果为分析类似带缺陷结构的失稳/失效载荷提供了一个新方向。
关键词：压杆 弹塑性 失稳载荷
引言
经典的稳定问题都是以理想结构为对象，以此为基础研究结构的失稳临界载荷。判别平衡状态稳定性的准则有静力学准则、能量准则和动力学准则三种。静力学准则，又称为微扰动准则，其要点是假
2、设在分支点附近存在一个相差无限小的平衡状态，它同原平衡状态的差别可以看成微扰动（即变分），列出微扰动的微分方程，问题就归结为微分方程的本征值问题，解出本征值，便可得到系统失稳的条件。能量准则,其要点是,如果弹性系统和外载荷组成的力学系统的总势能相对于所有相邻状态是最小的，则系统处于平衡状态。动力学准则则更适用于弹塑性体系的稳定性问题。
实际工程结构中总是存在缺陷的，如偏心、尺寸偏差、材料强度不均匀等，它们都会影响稳定性。在研究初始缺陷对失稳影响的基础上发展起来了初始缺陷理论，这一理论可以较好地解释实际失稳临界值低于理论值这一现象。荷兰的W.T.科伊特在1945年提出非完善结构的稳定性准则，引
3、出"初始缺陷敏感度"的概念。他的理论将缺陷敏感度与理想的完善结构的初始后屈曲性能联系起来，称作初始后屈曲理论。这是一个普遍的非线性理论，包括判断临界点稳定性的充分和必要条件。
对轴向压缩的压杆或外压作用的圆筒体系工程结构，本文认为是由于结构强度不足造成结构最终破坏，并以轴向偏心压缩的简支矩形压杆为例，求解弹塑性状态下压杆最终失效载荷。结果证明这种方法是可行的，该准则对压杆是适用的。
强度失稳准则：所有的可能发生失稳的构件都是有缺陷的，由于缺陷的存在使得构件发生其它类型的变形，在失稳载荷作用变形和缺陷变形的共同作用下，材料内部应力不能平衡外加载荷时，构件将发生失效。对压杆来说，就是缺陷带来了
4、附加的弯曲，使得压杆横截面上压应力不均匀。随着压缩载荷增加，弯曲变形加大，弯矩将以更大速度增加，如果材料是无限弹性，压杆弯曲变形迅速增加，但轴向承载能力将依然存在，并超过欧拉临界压力。但由于材料屈服的存在，限制了截面上的压应力的增加，达到一定程度时，就会发生压应力增加不足以平衡外加压缩载荷而发生失效。
压杆失效载荷计算
一简支矩形杆件，长为L，截面宽为t、高为b，两端受一压缩载荷P，如图1，为了简化计算过程，假定P在仅x轴偏心e，y轴无偏心，下面将根据强度失稳准则计算出考虑材料屈服时的压杆可承受的最大压缩载荷。材料的应力－应变关系如下：
5、 （1）
式中：为材料发生屈服时的应变。
根据强度失稳准则，压杆失效时横截面上最大轴向压应力已经超过屈服应力，对应的屈服应变为。假设已发生屈服的长度为s，此时中性轴向弯曲外侧移动x0，如图2所示。根据平截面假定压杆横截面上轴向应变分布见图3。假设压杆中心轴弯曲曲率为，横截面上轴向应变为：
（2）
由式（1）得其轴向应力为：
（3）
式中：A为横截面面积，A=bt，为轴向应力, 为轴向应变。
图1 简支偏心压缩杆件 图2 压杆横截面上应力分布 图3 压杆横截面上应变分布
根据压杆轴向力和弯矩平衡关系
6、建立方程式。当初始屈服点在压杆横截面上时
（4）
（5）
屈服点处应变为
（6）
当压杆横截面全部屈服时
（4a）
（5a）
根据以前研究成果，压杆受压失稳弯曲挠度为
（7）
其中：为压杆中性轴弯曲挠度，为压杆最大挠度。取
（8）
由式（4）、（5）、（6）、（7）和（8）可得
7、 （9）
如果压杆横截面全部屈服，则由（4a）、（5a）、（7）和（8）可得
（9a）
随着横截面发生屈服的长度s的增加，压缩载荷P逐渐增加，直至最大值，式（9）或式（9a）两端对求导，此时有
（10）
由式（10）可求出，代入式（7），即可求出压杆可承受的最大压缩载荷。
对线性屈服材料有
（9）
（10）
根据工程设计要求，杆件横截面平均应力不得超过屈服强度，即，由式（4）得：
（12）
代入式（5）可得
（13）
取挠度曲线为，由式（6）得
（14）
由式（12）、（13）和（14）得
整理得
表面屈服即失效：
理想屈服：
双线性屈服：
求解即可得。
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