初一数学竞赛讲座(一)自然数的有关性质.doc

初一数学竞赛讲座(一)
自然数的有关性质

一、 知识要点
1、 最大公约数
定义1　如果a1,a2,…,an和d都是正整数，且d∣a1,d∣a2,…, d∣an ，那么d叫做a1,a2,…,an的公约数。公约数中最大的叫做a1,a2,…,an的最大公约数，记作(a1,a2,…,an).
如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.
2、 最小公倍数
定义2　如果a1,a2,…,an和m都是正整数，且a1∣m, a2∣m,…, an∣m，那么m叫做a1,a2,…,an的公倍数。公倍数中最小的数叫做a1,a2,…,an的最小公倍数，记作[a1,a2,…,an].
如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4,8,12]=24.
3、 最大公约数和最小公倍数的性质
性质1 若a∣b,则(a,b)=a.
性质2 若(a,b)=d,且n为正整数，则(na,nb)=nd.
性质3 若n∣a, n∣b,则.
性质4 若a=bq+r (0≤r
性质6若[a,b]=m,且n为正整数，则[na,nb]=nm.
性质7若n∣a, n∣b,则.
4、 数的整除性
定义3　对于整数a和不为零的整数b，如果存在整数q，使得a=bq 成立，则就称b整除a或a被b整除，记作b∣a，若b∣a，我们也称a是b倍数；若b不能整除a，记作ba
5、 数的整除性的性质
性质1 若a∣b，b∣c，则a∣c
性质2 若c∣a，c∣b，则c∣(a±b)
性质3 若b∣a, n为整数，则b∣na
6、 同余
定义4 设m是大于1的整数，如果整数a，b的差被m整除，我们就说a，b关于模m同余，记作 a≡b(mod m)
7、 同余的性质
性质1 如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，ac≡bd(mod m)
性质2 如果a≡b(mod m)，那么对任意整数k有ka≡kb(mod m)
性质3 如果a≡b(mod m)，那么对任意正整数k有ak≡bk(mod m)
性质4如果a≡b(mod m)，d是a，b的公约数，那么
二、 例题精讲
例1 设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225.
如果m和n的最大公约数为15，求m+n的值
(第11届“希望杯”初一试题)
解：(1) 因为 (m,n)=15,故可设m=15a，n=15b，且(a,b)=1
因为 3m+2n=225，所以3a+2b=15
因为 a,b是正整数，所以可得a=1,b=6或a=b=3，但(a,b)=1，所以a=1,b=6
从而m+n=15(a+b)=157=105
评注：1、遇到这类问题常设m=15a，n=15b，且(a,b)=1，这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。这是一种常用方法。
2、思考一下，如果将m和n的最大公约数为15，改成m和n的最小公倍数为45，问题如何解决？

例2　有若干苹果，两个一堆多一个，3个一堆多一个，4个一堆多一个，5个一堆多一个，6个一堆多一个，问这堆苹果最少有多少个？
分析：将问题转化为最小公倍数来解决。
解　设这堆苹果最少有x个，依题意得

由此可见，x-1是2，3，4，5，6的最小公倍数
因为　[2,3,4,5,6]=60，所以x-1=60，即x=61
答：这堆苹果最少有61个。

例3　自然数a1，a2，a3，…，a9，a10的和1001等于，设d为a1，a2，a3，…，a9，a10的最大公约数，试求d的最大值。
解　由于d为a1，a2，a3，…，a9，a10的最大公约数，所以和a1+a2+a3+…+a9+a10＝1001能被d整除，即d是1001＝71113的约数。
因为d½ak，所以ak≥d，k＝1，23，…，10　　从而1001＝a1+a2+a3+…+a9+a10≥10d
所以　　由d能整除1001得，d仅可能取值1，7，11，13，77，91。
因为1001能写成10个数的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182
其中每一个数都能被91整除，所以d能达到最大值91

例4 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有四位数码，从0001到9999号，如果号码的前两位之和等于后前两位之和，则这张购物券为幸运券，如号码0734，因0+7=3+4，所以这个号码的购物券为幸运券。证明：这个商场所发购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。(第7届初中祖冲之杯”数学邀请赛试题)
证明：显然，9999的购物券为幸运券，除这张外，若号码为n的购物券为幸运券，则号码为m=9999-n的购物券也为幸运券。由于9999是奇数，所以m，n的奇偶性不同，即m≠n，由于m+n=9999，相加时不出现进位。就是说，除号码为9999的幸运券外，其余所有的幸运券可两两配对，且每对号码之和为9999，从而可知所有的幸运券的号码之和为9999的倍数。由101∣9999，所以所有幸运券的号码之和能被101整除。
评注：本题是通过将数两两配对的方法来解决。

例5 在1，2，3，…，1995这1995个数中，找出所有满足条件的数来：(1995+a)能整除1995a (第五届华杯赛决赛试题)
分析：分子、分母都含有a，对a的讨论带来不便，因此可以将化成，这样只有分母中含有a，就容易对a进行讨论。
解
因为(1995+a)能整除1995a，所以是整数，从而是整数
因为19951995=325272192，所以它的因数1995+a可以通过检验的方法定出。注意到1≤a≤1995，所以 1995<1995+a≤3990
如果1995+a 不被19整除，那么它的值只能是以下两种：
35272=3675，32572=2205
如果1995+a 能被19整除，但不被192整除，那么它的值只能是以下两种：

37219=2793，52719=3325
如果1995+a 能被192整除，那么它的值只能是以下两种：
7192=252 7，32192=3249
于是满足条件的a有6个，即从上面6个值中分别减去1995，得到
1680、210、798、1330、532、1254
评注：本题通过对的适当变形，便于对a的讨论。讨论时通过将19951995分解质因数，然后将因数1995+a通过检验的方法定出。这种方法在解决数的整除问题中经常使用。

例6 11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是几？为什么？(第四届华杯赛复赛试题)
解 显然11≡1(mod 3)，33≡0(mod 3)，66≡0(mod 3)，99≡0(mod 3)
又 22=4≡1(mod 3)，44≡14≡1(mod 3)，55≡25≡(-1)5≡(-1)(mod 3)，
77≡17≡1(mod 3)，88≡(-1)8≡1(mod 3)
∴11+22+33+44+55+66+77+88+99≡1+1+0+1-1+0+1+1+0≡4≡1(mod 3)
即所求余数是1
评注：用同余式求余数非常方便。

例7 已知：，问a除以13，所得余数是几？(第三届华杯赛决赛试题)
分析：将a用十进制表示成，1991除以13，所得余数是显然的，主要研究除以13的余数规律。
解
mod 13，103≡(-3)3=-27≡-1，
1+104+108≡1-10+102=91≡0，1991≡2
∴a≡≡=-18≡8，即a除以13，所得余数是8

例8 n是正偶数，a1,a2,…,an除以n，所得的余数互不相同；b1,b2,…,bn除以n，所得的余数也互不相同。证明a1+b1，a2+b2，…，an+bn除以n，所得的余数必有相同的。
证明 ∵n是正偶数，所以n-1为奇数，∴不是n的倍数，
∵a1,a2,…,an除以n，所得的余数互不相同，所以这n个余数恰好是0，1，…，n-1.从而a1+a2+…+an≡0+1+…+(n-1)=0(mod n)
同样b1+b2+…+bn≡0(mod n)
但 (a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)= (a1+a2+…+an)+( b1+b2+…+bn)
≡≡0(mod n)
所以a1+b1，a2+b2，…，an+bn除以n，所得的余数必有相同的。

例9 十进制中，44444444的数字和为A，A的数字和为B，B的数字和为C，求C
分析：由于10≡1(mod 9)，所以对整数a0，a1，a2，…，an有

它表明十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余。
根据上述结论有 C≡B≡A≡44444444(mod 9).所以只要估计出C的大小，就不难确定C
解：4444≡7 (mod 9)，而73≡(-2)3=-8≡1(mod 9)，
所以 44444444≡74444=73´1481+1≡7(mod 9)，
所以 C≡B≡A≡44444444≡7(mod 9)，
另一方面，44444444<(105)4444=1022220，所以44444444的位数不多于22220
从而A<9´22220=199980，即A至多是6位数。所以B<9´6=54
在1到53的整数中，数字和最大的是49，所以C≤4+9=13
在小于13的自然数中，只有7模9同余于7，所以C=7
评注：本题用了十进制中，一个数与它的各位数字和模9同余这个结论。根据这个结论逐步估计出C的大小，然后定出C。
三、 巩固练习
选择题
1、两个二位数，它们的最大公约数是8，最小公倍数是96，这两个数的和是( )
A、56 B、78 C、84 D、96
2、三角形的三边长a、b、c均为整数，且a、b、c的最小公倍数为60，a、b的最大　公约数是4，b、c的最大公约数是3，则a+b+c的最小值是（　　）
　 A、30 B、31 C、32 D、33
3、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是( )
A、33 B、34 C、35 D、37
4、任意改变七位数7175624的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被3整除的数的个数是( )
A、24 B、12 C、6 D、0
5、若正整数a和1995对于模6同余，则a的值可以是( )
A、25 B、26 C、27 D、28
6、设n为自然数，若19n+14≡10n+3 (mod 83)，则n的最小值是( )
A、4 B、8 C、16 D、32
填空题
7、自然数n被3除余2，被4除余3，被5除余4，则n的最小值是
8、满足[x,y]=6，[y,z]=15的正整数组(x,y,z)共有 组
9、一个四位数能被9整除，去掉末位数后得到的三位数是4的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是
10、有一个11位数，从左到右，前k位数能被k整除(k=1,2,3,…,11)，这样的最小11位数是
11、设n为自然数，则3 2 n+8被8除的余数是
12、14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是
解答题
13、求两个自然数，它们的和是667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是120。
14、已知两个数的和是40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是56，求这两个数。
15、五位数能被12整除，它的最末两位数字所成的数能被6整除，求出这个五位数。
16、若a,b,c,d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9
求证：4∣(a+b+c+d)
17、一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？
18、求2400被11除，所得的余数。
19、证明31980+41981被5整除。
20、x i=1或 -1(i=1，2，…，1990)，证明