高三理科数学068.doc

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期数 0512 SXG3 068
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇

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预 习 篇

预习篇五十二 高三理科数学总复习二十九
——数列的综合应用

【基础知识概要】
数列综合题的四种题型
1． 数列与其他知识的综合题
数列综合题，包括数列知识与指数函数、对数函数、不等式的知识的综合，另外，数列在三角函数，解析几何等部分也有广泛的应用。
2． 数列的探索性问题
探索性问题是高考的热点，常在数列的解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求。
3． 等差数列与等比数列的综合问题
4． 数列的实际应用
数列涉及实际应用的开放性问题广泛而多样，例如圆钢的堆垒、增减率、银行信贷、养老保险等问题. 解数列应用问题就是从实际出发，抽象概括出数列模型，然后通过推理演算得出数列模型的解，再还原说明实际问题的解.
【典型例题解析】
例1在圆 为过该点最短弦的长，为过该点最长弦的长，公差为，那么n的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
分析：当弦为直径是最大，当弦与圆心距垂直时最短，结合数列知识即可求解。
解：由，得，
∴过点最长的弦为直径5，最短的弦长为，即
∴，∴，∵，∴，故，故选D．
　例2设关于方程的四个根组成以2为公比的等比数列，求 的值．
分析：根据四个根成等比数列，可先恰当设出四个根，再由方程中的特殊性，常数项同时为1，判断出哪两项对应哪个方程的两个根，然后用韦达定理得出根与系数关系，从而求出ab的值．
解：设以2为公比，成等比数列的四个根依次为．
　　　∵两方程的常数项同时为１，
　　　∴只有时∴才有解，此时
　　　∴是其中一个方程的两根，是另一方程的两根，
　　　不妨设是方程的两根，是方程的两根，
　　　则即，∴
例3某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
解：（Ⅰ）依题设，An=(500－20)+(500－40)+…+(500－20n)=490n－10n2；
Bn=500[(1+)+(1+)+…+(1+)]－600=500n－－100.
（Ⅱ）Bn－An=(500n－－100) －(490n－10n2)
=10n2+10n－－100=10[n(n+1) － －10].
因为函数y=x(x+1) － －10在（0，+∞）上为增函数，
当1≤n≤3时，n(n+1) － －10≤12－－10<0；
当n≥4时，n(n+1) － －10≥20－－10>0.
∴仅当n≥4时，Bn>An.
答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.
例4　如图，直线相交于点P.直线l1与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交直线l2于点Q1，过点Q1作y轴的垂线交直线l1于点P2，过点P2作x轴的垂线交直线l2于点Q2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P1、Q1、P2、Q2，…，点Pn（n=1，2，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）比较的大小.
证明：（Ⅰ）设点Pn的坐标是，由已知条件得
点Qn、Pn+1的坐标分别是：
由Pn+1在直线l1上，得
所以 即
（Ⅱ）由题设知 又由（Ⅰ）知 ，
所以数列 是首项为公比为的等比数列.
从而
（Ⅲ）由得点P的坐标为（1，1）.
所以

（i）当时，>1+9=10.
而此时
（ii）当时，<1+9=10.
而此时
【强化训练】
同步落实[※级]
一、选择题
1．设某工厂生产总值的月平均增长率为，则年平均增长率为（ ）
A． B．
C． D．
2．一弹性球从100米的高处落下，每次着地后又跳回原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程总和约为（ ）
A．199.8米 B．299.6米
C．166.9米 D．266.9米
二、解答题
3．某鱼塘养鱼，由于改进了饲养技术，预计第一年产量的增长率为200%，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量为a.
（1）写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第n年与第n－1年（，且n为自然数）的产量之间的关系式.
（2）由于存在鱼塘老化及环境污染等因素，估计每年将损失年产量的10%，照这样下去，以后每年的产量是否逐年提高？若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年，产量将不如上一年，（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）

同步检测[※※级]
一、选择题
1．若的方程的四个根可组成首项为的等差数列，则的值为（　　）
　A． B． C． D．
2．有200根相同的圆钢，将其中的一部分堆放成一个纵断面为正三角形的钢垛，要求剩余的根数尽可能的少，这时剩余的圆钢有（ ）
A．9根 B．10根
C．19根 D．20根
3．△ABC中，三内角成等差数列，三边成等比数列，则三内角的公差等于（ ）
A．0° B．15°
C．30° D．45°
二、解答题
4．甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时出发相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.
（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？
（2）如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
5．刘磊大学毕业参加工作后，计划参加养老保险，若每年年末存入等差额年金元，即第1年末存入元，第2年末存入2元，……，第年末存入元，年利率为，则第年年初他可一次性获得养老金本利合计多少元？

参考答案
同步落实[※级]
一、1．D 2．B
二、3．解：（1）设改进饲养技术后，第n年的产量为（n＝1，2，…），则

由题意，第n年与第n－1年的产量之间的关系是（）.
（2）若考虑损失因素，则第n年与第n－1年的产量之间的关系为
，即.
假设，得，即，
所以 故.
答：以后每年产量不是始终逐年提高，从第6年起，产量将不如上一年.
同步检测[※※级]
一、1．D 2 B 3．A
二、4．解：（1）设分钟后第一次相遇，由题意得
，
整理，得 ，
解得或-20（舍去）.
所以在开始运动7分钟后第一次相遇.
（2）设分钟后第二次相遇，由题意得
,
整理，得 ，
解得或-28（舍去）.
所以在开始运动15分钟后第二次相遇.
4．解：由已知，设第年年初刘磊可一次性获得养老金本利合计S元，则
，
，
则，

即.