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数学高考综合能力题选讲17
二次曲线
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
高考试题中，解析几何试题的分值一般占20％左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14％左右，选择、填空、解答三种题型均有．选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热．解答题的题型设计主要有三类：
（1）求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹；
2、 （2）圆锥曲线的有关元素计算．关系证明或范围的确定；
（3）涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题．
近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降．随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查．因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用．
范例选讲
例1． 中，已知，且内角满足．
（1）建立适当的坐标系，求顶点A的轨迹方程；
（2）若直线通过点B，且与顶点A的轨迹交于M、N两点，求的最小值．
讲解 （1）如图：取
3、CB所在直线为x轴，CB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
Y
A
B x
M
N
C O
∵
由正弦定理可得：（定值）
根据椭圆的定义可知：顶点A的轨迹是以C、B为焦点的椭圆，方程为：
.
（2）解法一．由于M,N的变化是由直线l的运动引起的，所以，可以设法将表达成关于直线的斜率k的函数．
设过点B的直线的方程为：，点M、N的坐标分别为：．
则由消去，得．
显然，求出点M,N的坐标是不可取的．但很容易得到下面的式子：
．
能否用来表示？这就涉及到
4、椭圆的第二定义．
由（1）可知：椭圆的左准线为：．所以，根据定义有：
所以，
所以，当时，取得最小值，为6．
解法二．从另一个角度来思考这个问题，由于直线的标准参数方程中，的几何意义就是从定点出发的有向线段的数量，所以，我们可以考虑将转化为，同时利用直线的参数方程来解决问题．
设过点B的直线的方程为：（其中为参数，为直线的倾斜角），代入椭圆方程，得：
．
所以，．
所以，．
根据椭圆定义：，．所以，
所以，当且仅当，即直线方程为时，取得最小值，为6．
点评：恰当运用定义是进行问题转化的重要手段．
例2．已知双曲线的左右两
5、焦点分别为，点M是双曲线右支上不重合于顶点的一点，设，若．
（1）求双曲线的离心率；
（2）如果动点的坐标为，且有最小值15，求双曲线的方程．
讲解：（1）如果对三角公式较为熟悉，不难发现，实际上
．
所以，要求双曲线的离心率，只需考虑如何用来表达即可．
设双曲线的实轴长为，焦距为，点P为的内心，过P作PN垂直于点N，则
，
又
所以，＝
所以，．
（2）
∴的坐标适合方程，
又∵
（等号当且仅当时取得）．
∴ ，
双曲线的方程为：．
点评：（1）中，直接利用正、余弦定理也可得出结论．
高考真题
P
M N
6、
1．（1993年全国高考题）在面积为1的△PMN 中，tanM = ,tanN = -2．建立适当的坐标系，求出以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．
A
L1
M N
L2
B
2．（1998年全国高考）如图, 直线L1和L2相交于点M，L1^L2, 点N ÎL1．以A、B为端点的曲线C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等．若DAMN为锐角三角形，|AM|= ，|AN| = 3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
3．（2000全国理22）如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．
[答案与提示：1．； 2．； 3．．]
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