第15讲函数的基本性质.doc

第15讲 函数的基本性质
一、要点精讲
1．奇偶性
（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 ，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 ，则称f(x)为偶函数。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 = 0，则f(x)是奇函数。
（3）函数的图像与性质：奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称；
2．单调性
（1）定义：
注意：① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；② 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x)的 。
（3）判断函数单调性的方法
（ⅰ）定义法：利用定义严格判断
（ⅱ）利用已知函数的单调性如若、为增函数，则
①+为 ；②为 （＞0）；
③为 （≥0）；④-为
（ⅲ）利用复合函数【y= f（u），其中u=g(x) 】的关系判断单调性：
复合函数的单调性法则是“ ”
（ⅳ）图象法
（ⅴ）利用奇偶函数的性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
3．最值：利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
利用图象求函数的最大（小）值；
利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
4．周期性
（1）定义：如果存在一个 常数T，使得对于函数定义域内的 ，都有 ，则称f(x)为周期函数；
（2）f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为。
(3)设为非零常数，若对定义域内的任意恒有下列条件之一成立：
①；②；③；④；
⑤；⑥，
则 函数， 是它的一个周期（上述式子分母不为零）
若同时关于与对称（＜），则是周期函数， 是它的一个周期；若关于对称同时关于点（b,0）对称（）则的一个周期T＝ ；若关于（，0）对称同时关于（，0）对称，则是一个周期函数，周期T＝ 。
【课前预习】
1. 已知函数=,那么是 ( )
A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数
2、函数的最小值 。
3.的递减区间是 ；的单调递增区间是 。
4．已知偶函数和奇函数的定义域都是(-4,4),它们在上的图像分别如图（2-3），则关于的不等式的解集是_____________________。

二．典例解析
题型一：判断函数的奇偶性
例1．讨论下述函数的奇偶性：

（4）
例2．(2002天津文.16)设函数f（x）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：①y=－|f（x）|；②y=xf（x2）；③y=－f（－x）；④y=f（x）－f（－x）。
必为奇函数的有_____（要求填写正确答案的序号）
题型二：判断证明函数的单调性及单调区间
例3. （1）.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________
（2）若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.
例4．（1）已知函数=（），证明函数=在R上是单调递增函数；（2）说出函数（>0）的单调区间，并给出证明。
巩固练习．已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。
题型三：奇偶性与单调性的应用
例5．⑴已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。
⑵已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，求x∈[－4，0]时f(x)的表达式。
例6．已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由。
例7．已知函数为奇函数，，且不等式的解集是∪
（1）求a,b,c。
（2）是否存在实数m使不等式对一切成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

例8．已知函数．
（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围．
题型四：最值问题
例9．①函数的定义域为，对任意实数都有，且当时，且 。 (1)求证: 为奇函数；（2）求 在区间[-9，6]上最值。
②设m是实数，记M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)。
(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M；
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值；
(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。
题型五：周期问题
例10（Ⅰ）. 函数=分别满足下列各式：（1）；（2）；（3）；（4） ；（5）；（6） 。 则能判断函数=具有周期性的式子有 （填上所有满足条件的序号）。
（Ⅱ）．若y=f(2x)的图像关于直线和对称，则f(x)的一个周期为（ ）
A． B． C． D．
例11．已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。
①证明：；
②求的解析式；
③求在上的解析式。
【课外作业】
1. 【08全国一1】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2.【08全国二3】函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B． 直线对称 C． 坐标原点对称 D． 直线对称
3.【08湖北卷4】函数的定义域为（ ）
A. B. C. 　　D.
4.【08重庆卷6】若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是（ ）
(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数
5.【08陕西卷11】定义在上的函数满足（），，则等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
6.【08重庆卷4】已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为 （ ）
(A) (B) (C) (D)
7．【08年四川延考卷理11】设函数的图像关于直线及直线对称，且时，，则（　　）
A．　　B．　　C．　　D．
8．【08年四川延考卷文14】函数的最大值是____________．
五．思维总结
1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= ±f(x)óf(-x) f(x)=0；
2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；
3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；
4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。
5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。
6．单调性是函数学习中非常重要的内容，应用十分广泛，由于新教材增加了“导数”的内容，所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高，因此解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用单调性定义解决。注意，关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析，严格的解答还是应该运用定义或求导解决。

《新课标》必修Ⅰ复习 第三讲 函数的基本性质（答案详解）
曾祥君（08.7）
【课前预习】
1. B； 2、 3. 答案:和， ；4答案:
2、【分析】：

故最小值为
例1、解：（1）函数定义域为R，
，
∴f(x)为偶函数；
（另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。
（2）须要分两段讨论：
①设

②设

③当x=0时f(x)=0，也满足f(－x)=－f(x)；
由①、②、③知，对x∈R有f(－x) =－f(x)， ∴f(x)为奇函数；
（3），∴函数的定义域为，
∴f(x)=log21=0(x=±1) ，即f(x)的图象由两个点 A（－1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，∴f(x)既是奇函数，又是偶函数；
（4）的定义域是[-1,1）没有关于原点对称所以函数既不是奇函数又不是偶函数。
点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
例2、答案：②④；解析：y=（－x）f［（－x）2］=－xf（x2）=－y；y=f（－x）－f（x）=－y。
点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。
例3、（1）.解析：令t=|x+1|,则t在(－∞,－1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，∴y=f(|x+1|)在 (－∞,－1上递减.
（2）.解析：由题意可知：xf(x)＜0

∴x∈(－3,0)∪(0,3)
例4分析：（1）用定义来证明函数单调时必须“分解到底”，每一个因式的符号都必须非常清楚。（2）设 ，则 = ，欲使这一式子恒大于零或恒小于零，必须对所处的区间进行划分，从而说出单调区间。
解析：（1）设且 ∴===， ，， ， ，∴ ，
∴在R上单调递增。
（2）在单调递减，在单调递增。
设，且 ，= = ∴ ∴在单调递减，同理在单调递增。
评析：解答题中研究、讨论、证明函数单调性都必须要定义。
巩固练习解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。
在R上任取x1、x2，设x15时f(x)>1;
① 若x1x1>5，则f(x2)>f(x1)>1 ,
∴f(x1)f(x2)>1,
∴>0,
∴ F(x2)> F (x1)；
综上，F (x)在（－∞，5）为减函数，在（5，+∞）为增函数。
点评：该题属于判断抽象函数的单调性抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点
例5、（1）解：∵f(2)=0,∴原不等式可化为f［log2(x2+5x+4)］≥f(2)。
又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，
∴f(x)在(－∞,0)上为减函数且f(－2)=f(2)=0。
∴不等式可化为　　log2(x2+5x+4)≥2 　　　　　　①
或　　　　　　　　log2(x2+5x+4)≤－2 ②
由①得x2+5x+4≥4，∴x≤－5或x≥0 ③
由②得0＜x2+5x+4≤得
≤x＜－4或－1＜x≤ ④
由③④得原不等式的解集为
{x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0。
（2）解：由条件可以看出，应将区间[－4，0]分成两段考虑：
①若x∈[－2，0]，－x∈[0，2]，
∵f(x)为偶函数，
∴当x∈[－2，0]时，f(x)= f(－x)=－2x－1,
②若x∈[－4，－2，
∴4+ x∈[0，2，
∵f(2+x)+ f(2－x)，
∴f(x)= f(4－x)，
∴f(x)= f(－x)= f[4－（－x）]= f(4+x)=2（x+4）－1=2x+7；
综上，
点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。
例6、解：∵f(x)是R上的奇函数，且在［0，∞］上是增函数，
∴f(x)是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f(cos2θ－3)>f(2mcosθ－4m)，
即cos2θ－3>2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>0。
设t=cosθ,则问题等价地转化为函数
g(t)=t2－mt+2m－2=(t－)2－+2m－2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g(t)在［0，1］上的最小值为正。
∴当<0,即m<0时，g(0)=2m－2>0m>1与m<0不符；
当0≤≤1时，即0≤m≤2时，g(m)=－+2m－2>04－21,即m>2时，g(1)=m－1>0m>1
∴m>2
综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4－2。
例7、解：（1）∵
∴ ……1分

∵ 的解集中包含2和－2,

∴

即得所以 ……2分
∵ ∴ ……3分
下证：当a>0时，在(0,+∞)上是增函数。
在(0,+∞)内任取x1，x2，且x1上所述： ……6分
（2）∵
∴在(－∞,0)上也是增函数。 …7分
又 ∴ 而
所以，m为任意实数时，不等式 ……12分
点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。
例8、【解】（1）. …………….2分
由条件可知，解得 …………6分
∵ …………..8分
（2）当 ……………10分
即
………………13分

故m的取值范围是 …………….16分
点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁
　例9、①证明：（1）令y=0∴ ，∴ ， 再令
∴ ，∴为奇函数。
（2）令 ∴
∴ ∴在上为减函数，
∴ ，
②证明：(1)先将f(x)变形：f(x)=log3［(x－2m)2+m+］,
当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，
故f(x)的定义域为R。
反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0。
令Δ＜0，即16m2－4(4m2+m+)＜0，解得m>1，故m∈M。
(2)解析：设u=x2－4mx+4m2+m+，
∵y=log3u是增函数，
∴当u最小时，f(x)最小。
而u=(x－2m)2+m+，
显然，当x=2m时，u取最小值为m+，
此时f(2m)=log3(m+)为最小值。
(3)证明：当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3，
当且仅当m=2时等号成立。
∴log3(m+)≥log33=1。
点评：该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。
例10、（Ⅰ）答案:（1）（2）（3）（4）；
（Ⅱ）解：因为y=f(2x)关于对称，所以f(a+2x)=f(a－2x)。
所以f(2a－2x)=f[aa－2x)]=f[a－(a－2x)]=f(2x)。
同理，f(b+2x) =f(b－2x)，
所以f(2b－2x)=f(2x)，
所以f(2b－2a+2x)=f[2b－(2a－2x)]=f(2a－2x)=f(2x)。
所以f(2x)的一个周期为b－a，
故知f(x)的一个周期为2(b－a)。选项为B。
点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称（a≠b），则这个函数是周期函数，其周期为2（b－a）。
例11、解：∵是以为周期的周期函数，
∴，
又∵是奇函数，
∴，
∴。
②当时，由题意可设，
由得，
∴，
∴。
③∵是奇函数，
∴，
又知在上是一次函数，
∴可设，而，
∴，∴当时，，
从而当时，，故时，。
∴当时，有，
∴。
当时，，
∴
∴。
点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。

【课外作业】
1～7：CCDCCCB 7提示： 8、（提示： 因为，，
，正好时取等号。
（另在时取最大值）