初中数学竞赛讲座(第3讲)求代数式的值.doc

第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧 例1 求下列代数式的值：分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性=0-4a3b2-a2b-5=-413(- 2)2- 12(-2)-5=-16+2-5=-19(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?3x2y-(xyz-5x2z) =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z) =(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z) =2xyz-2x2z =2(-1)2(-3)-2(-1)2(-3) =12+6=18说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值去、添括号时，一定要注意各项符号的变化例2 已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值下面给出本题的五种解法解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3 =b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3 =-1说明 这是用代入消元法消去a化简求值的解法2 因为a-b=-1，所以 原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3 =(-1)3=-1说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1说明 这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简所以解 因为a=3b，所以c=5a=5(3b)=15b将a，c代入所求代数式，化简得解 因为(x-5)2，m都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2下面先化简所求代数式，然后再代入求值=x2y+5m2x+10xy2=522+0+10522=250例6 如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值分析 此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值下面介绍一种不必求出a，b的值的解法解 14a-2b=2(7a-b) =2(4a+3a)+(-3b+2b)=2(4a-3b)+(3a+2b)=2(7+19)=52x+x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的值 分析 所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5) =-1-2+3+4+5=9说明 实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关例8 若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利x=3k，y=4k，z=7k因为2x-y+z=18，所以23k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8例9 已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值 分析 本题是可直接代入求值的下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值解 设x+y=m，xy=n原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n) =(n-1)2+m2-2m-2mn+4n =n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2 =(n+1)2-2m(n+1)+m2 =(n+1-m)2 =(1111+1-22)2 =(121+1-22)2 =1002=10000说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式练习三1求下列代数式的值： (1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值 3已知a=3.5，b=-0.8，求代数式6-5b-3a-2b-8b-1的值 4已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值5已知