初中数学竞赛讲座(第3讲)求代数式的值.doc

第三讲 求代数式的值
用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．
　　例1 求下列代数式的值：

　　分析 上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．

　　　　　　　　=0-4a3b2-a2b-5
　　　　　　　　=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5
　　　　　　　　=-16+2-5=-19．
　　(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]
　　　　　 =3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)
　　　　 　=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)
　　　　　 =2xyz-2x2z
　　　　　 =2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)
　　　　 　=12+6=18．
　　说明 本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．
　　例2 已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．
　　分析 由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．
　　解法1 由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简
　　a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3
　 　　　 　=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3
　 　　　 　=-1．
　　说明 这是用代入消元法消去a化简求值的．
　　解法2 因为a-b=-1，所以
　　 原式=(a3b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab
　　　　=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab
　　　　=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2
　　　　=-(-1)2=-1．
　　说明 这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以
　　原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3
　　　　 =a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3
　　　　 =(-1)3=-1．
　　说明 这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．
　　解法4 因为a-b=-1，所以
(a-b)3=(-1)3=1，
　　即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，
a3-b3-3ab(a-b)=-1，
　　所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，
　　即 a3-b3+3ab=-1．
　　说明 这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．
　　解法 5
　　a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab
　　　　　　=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab
　　　　　　=(-1)3+3ab(-1)+3ab
　　　　　　=-1．
　　说明 这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a-b)2=a2-2ab+b2；
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 ；
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

　　解 由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以

　　解 因为a=3b，所以
c=5a=5×3b)=15b．
　　将a，c代入所求代数式，化简得

　　解 因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有

　　由(2)得y+1=3，所以y=2．
　　下面先化简所求代数式，然后再代入求值．

　　　　=x2y+5m2x+10xy2
　　　　=52×2+0+10×5×22=250
　　例6 如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．
　　分析 此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．
　　解 14a-2b=2(7a-b)
　　 　　　 =2[(4a+3a)+(-3b+2b)]
　　　　　　=2[(4a-3b)+(3a+2b)]
　　　　　　=2(7+19)=52．

　　｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．
　　分析 所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，

据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．

　　原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)
　　　　 =-1-2+3+4+5=9．
　　说明 实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．
　　例8 若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？
　　分析 x:y:z=3:4:7可以写成

的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．

x=3k，y=4k，z=7k．
　　因为
2x-y+z=18，
　　所以
2×3k-4k+7k=18，
　　所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以
x+2y-z=6+16-14=8．
　　例9 已知x=y=11，求
(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．
　　分析 本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．
　　解 设x+y=m，xy=n．
　　原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)
　　　 　=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n
　　　 　=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2
　　　 　=(n+1)2-2m(n+1)+m2
　　　 　=(n+1-m)2
　　　 　=(11×11+1-22)2
　　　 　=(121+1-22)2
　　　 　=1002=10000．
　　说明 换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．

练习三

　　1．求下列代数式的值：
　　 (1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；

的值．

　　3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式
｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜　　的值．
　　4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．
　　5．已知