高三理科数学003.doc

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期数： 0509 SXG3 003
学科：理科数学 年级：高三 编稿老师：毕 伟
审稿老师：杨志勇
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[同步教学信息]
复 习 篇

复习篇一 离散型随机变量的期望与方差

【复习范围】
1．离散型随机变量的分布列；
2．离散型随机变量的期望与方差.

【基础知识梳理】
1．离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值的概率，则称表

…

…
P

…

…
为随机变量的概率分布，简称为的分布列.
由概率的性质可知，离散型随机变量的分布列具有以下性质：
（1）；
（2）；
（3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这一范围内各个值的概率之和.
2．离散型随机变量的期望
一般地，若离散型随机变量的概率分布为

…

…
P

…

…
则称为的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
期望的性质：
（1若，a、b为常数，则.
（2）若～B (n, p), 则.
3．离散型随机变量的方差
如果离散型随机变量所有可能取的值是

且取这些值的概率分别是

那么，把叫做随机变量的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量的期望. D的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作. 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散程度，其中标准差的单位与随机变量本身的单位相同.
方差的性质：
（1）， 其中a、b是常数；
（2）若～B(n, p), 则，这里.

【典型问题举例】
例1． 一口袋中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是， 从中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
(1) 求恰好摸5次停止的概率；
(2) 记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．
解：（1）
(2)随机变量的取值为0，1，2，3，；
由n次独立重复试验概率公式，得
；

（或）
随机变量的分布列是

0
1
2
3
P

的数学期望是
例2 有10张卡片，其中8张标有数字2，另外2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片上的数字和为，求E.
解：当=6时，表示取出的3张卡片上都标有2，则；
当=9时，表示取出的3张卡片中有2张为2，另一张为5，则；
当=12时，表示取出的3张卡片中有2张为5，另一张为2，则.
∴的分布列为

6
9
12
P

因此，.
例3 已知两家工厂一年四季上缴利税如下（单位：万元）：
季度
一
二
三
四
甲厂
70
50
80
40
乙厂
55
65
55
65
试分析这两家工厂上缴利税的情况.
解：设随机变量、分别表示甲厂、乙厂上缴利税数，由已知，
.

上述计算结果表明，两厂上缴利税的数学期望相同，但甲厂比乙厂波动大，即方差大导致它们生产出现差异较大，乙厂在不同季度上缴利税比较接近于平均值60万元，相对稳定.

【强化训练】
同步复习[※级]
一、选择题
1．设随机变量的概率分布如下：

－1
0
1
P

m
则m等于（ ）
A．0 B．
C． D．
2．将一枚硬币连续掷10次，则出现正面向上的次数的期望为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．一个口袋里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个球，其中所含白球的个数的期望等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
4．设随机变量满足，则D=________.
5．设随机变量满足，则D=_______.
同步提高[※※级]
一、填空题
1．抛掷三个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功的次数的期望等于 .
2．设随机变量只能取5，6，7，…，16这12个数值，且取每一个值的概率均相等，则
= .
3．口袋中有大小相同的5个白球、3个红球，从中任意抽取4个，恰好抽到3个白球的概率是 .
二、解答题
4．设～B(2, p),～B(4, p), 若，求.
5．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

参考答案
同步复习[※级]
一、选择题
1．C 2．B 3．D
二、填空题
4． 5．0
同步提高[※※级]
一、填空题
1．38 2． 3．
二、解答题
4．解：因为～，所以，k =0,1,2.
由，得，即
，
解得，又0＜p＜1, ∴.
5．解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则

甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：
ξ
0
1
2
P

Eξ=0×+1×+2×=
答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为.
（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为

∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率

答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为