扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题.doc

扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三试题
2013．01
全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）．
第 一 部 分
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．若集合，，则M∩N= ▲ ．
2．将复数(是虚数单位)写成，则 ▲ ．
3．已知向量，若，则k等于 ▲ ．
4．已知函数，则 ▲ ．
5．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为，，则的概率为 ▲ ．
6．设满足约束条件，则的最大值是 ▲ ．
7．如图所示的流程图，若输出的结果是15，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ▲ ．

8．已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切，则圆的标准方程为 ▲ ．
9．设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题
①若，则， ②若，则,
③若 ④若，则,
其中正确的命题序号是 ▲ ．
10．在中，角所对边的长分别为，且，则 ▲ ．
11．已知函数（）在区间上取得最小值4，则 ▲ ．
12． 如图所示：矩形的一边在轴上，另两个顶点、在函数的图像上，若点的坐标为），矩形的周长记为，则 ▲ ．
13．已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为、，则= ▲ ．
14．数列满足，，且 =2，则的最小值为 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知向量，，函数．
（Ⅰ）求的最大值，并求取最大值时的取值集合；
（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，且，，成等比数列，角为锐角，且，求的值．

16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，⊥平面， 于。
（Ⅰ）证明：平面⊥平面；
（Ⅱ）设为线段上一点，若，求证：平面

17．（本小题满分15分）
已知数列的前项和为．
（Ⅰ）若数列是等比数列，满足， 是，的等差中项，求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在等差数列，使对任意都有？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由．

18．（本小题满分15分）
轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米．
（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；
（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？
（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）

19．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆方程为，圆方程为，过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C．
（Ⅰ）若时，恰好为线段AC的中点，试求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的离心率=，为椭圆的右焦点，当时，求的值；
（Ⅲ）设D为圆上不同于A的一点，直线AD的斜率为，当时，试问直线BD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

20．（本小题满分16分）
记函数的导函数为，已知．
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）设函数，试问：是否存在正整数使得函数有且只有一个零点？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若实数和（，且）满足：，试比较与的大小，并加以证明．
第二部分（加试部分）
21．B 选修4 - 2：矩阵与变换（本题满分10分）
若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵.
…………………10分

21．C． 选修4 - 4：坐标系与参数方程 （本题满分10分）
已知椭圆：与正半轴、正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，求面积的最大值。

22．（本题满分10分）
在四棱锥中，侧面底面，，底面是直角梯形，，，，．设为侧棱上一点，，试确定的值，使得二面角为45°．

23．（本题满分10分）
已知数列是等差数列，且是展开式的前三项的系数.
（Ⅰ）求展开式的中间项；
（Ⅱ）当时，试比较与的大小.

扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题
高 三 数 学 参 考 答 案
2013．01
第 一 部 分
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．；2．；3．；4．；5．； 6．；7．49； 8．；
9．③④；10．；11．；12． 216；13．；14．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）
．……… 3分
故，此时，得，
∴取最大值时的取值集合为． ………………… 7分
（Ⅱ），，，
，． …………………………… 10分
由及正弦定理得于是

． ……………………………………14分
16．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证：因为平面，
平面，…………………2分
又，是平面内的两条相交直线，
平面， …………………4分
而平面，所以平面⊥平面 …………………6分
（Ⅱ）证：，，和为平面内
两相交直线，平面， …………………8分
连接，平面，， …………………10分
⊥平面，平面，，
又共面，， …………………12分
又平面，平面，平面 …………………14分
17．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，
依题意，有即……3分
由 得 ，解得或.
当时，不合题意舍；
当时，代入(2)得，所以， . …………………7分
（Ⅱ）假设存在满足条件的数列，设此数列的公差为，则
方法1： ，得
对恒成立，
则 …………………10分
解得或此时，或．
故存在等差数列，使对任意都有．其中，
或． …………………15分
方法2：令，，得，
令，得， …………………9分
①当时，得或，
若，则，，，对任意都有；
若，则，，，不满足．
…………………12分
②当时，得或，
若，则，，，对任意都有；
若，则，，，不满足．
综上所述，存在等差数列，使对任意都有．其中，或． …………………15分
18．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设助跑道所在的抛物线方程为，
依题意： …………………3分
解得，，，，
∴助跑道所在的抛物线方程为． …………………7分
（Ⅱ）设飞行轨迹所在抛物线为（），
依题意：得解得…………………9分
∴，
令得，，∵，∴，…11分
当时，有最大值为，
则运动员的飞行距离， ………………13分
飞行过程中距离平台最大高度，
依题意，，得，
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间．………………15分
19．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）当时，点C在轴上，且，则，由点B在椭圆上，
得， …………………2分
∴，，∴． …………………4分
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，由椭圆定义知，，
∴，则点B在线段的中垂线上，∴，…………6分
又，∴，，∴，
代入椭圆方程得=，∴=．…………9分
（Ⅲ）法一：由得，
∴，或，
∵，∴，则．……11分
由得，
得，或，同理，得，，……13分
当时，，，
，∴ BD⊥AD，∵为圆，
∴ ∠ADB所对圆的弦为直径，从而直线BD过定点（a,0）. ……………16分
法二：直线过定点， …………………10分
证明如下：
设，，则：
，
所以，又
所以三点共线，即直线过定点。. …………………16分
20．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ），由得． …………………3分
（Ⅱ），，………………5分
∵，令得，
当时，，是增函数；
当时，，是减函数．
∴当时，有极小值，也是最小值，，……7分
当时，；
当时（可取体验），．
当时，，函数有两个零点；
当时，，函数有两个零点；
当时，，函数有且只有一个零点，
综上所述，存在使得函数有且只有一个零点． …………………9分
（Ⅲ），∵，∴，
得， …………………11分
则，
当时，，设，
则（当且仅当时取等号），
∴在上是减函数，
又∵，∴，∴，∴．…………………14分
当时，，设，
则（当且仅当时取等号），
∴在上是增函数，
又∵，∴，∴，∴．
综上所述，当时 ，当时………………………………16分

第二部分（加试部分）
21．B 选修4 - 2：矩阵与变换（本题满分10分）
解.设,由 …………………3分
得,即，，
所以 …………………10分
21．C． 选修4 - 4：坐标系与参数方程 （本题满分10分）
解：依题意，，，直线：，即
设点的坐标为，则点到直线的距离是
， …………………4分
当时，， …………………6分
所以面积的最大值是 …………………10分
22．（本题满分10分）
解：因为侧面底面，平面平面，，
所以平面，所以，即三直线两两互相垂直。
如图，以为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，
则平面的一个法向量为， …………………2分
，所以
，设平面的一个法向量为，由，，
得，
所以 …………………6分
所以，即
注意到，解得． …………………10分
23．（本题满分10分）
解：（Ⅰ）依题意，，，由可得（舍去），或 …………………2分
所以展开式的中间项是第五项为：；…………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,
当时，
当时，

猜测：当时， …………………6分
以下用数学归纳法加以证明：
①时，结论成立，
②设当时，，
则时，

由可知，
即
综合①②可得，当时， …………………10分