MBA教材--第四章贝叶斯分析.doc

第四章 贝叶斯分析
Bayesean Analysis

§4.0引言
一、决策问题的表格表示——损失矩阵
对无观察(No-data)问题 a=δ
可用表格(损失矩阵)替代决策树来描述决策问题的后果(损失):

…

…

π()

…

π()

…

π()

或

π()
…
π()
…
π()

…

…

损失矩阵直观、运算方便

二、决策原则
通常，要根据某种原则来选择决策规则δ，使结果最优(或满意)，这种原则就叫决策原则，贝叶斯分析的决策原则是使期望效用极大。本章在介绍贝叶斯分析以前先介绍芙他决策原则。

三、决策问题的分类：
1.不确定型(非确定型)
自然状态不确定,且各种状态的概率无法估计.
2.风险型
自然状态不确定,但各种状态的概率可以估计.

四、按状态优于：
≤ "I, 且至少对某个i严格不等式成立, 则称行动按状态优于

§4.1 不确定型决策问题

一、极小化极大(wald)原则(法则、准则)
l ( , ) 或
例:

10
8
7
9

4
1
9
2

13
16
12
14

6
9
8
10
各行动最大损失: 13 16 12 14
其中损失最小的损失对应于行动.
采用该原则者极端保守, 是悲观主义者, 认为老天总跟自己作对.

二、极小化极小
l ( , ) 或
例:

10
8
7
9

4
1
9
2

13
16
12
14

6
9
8
10
各行动最小损失: 4 1 7 2
其中损失最小的是行动.
采用该原则者极端冒险，是乐观主义者，认为总能撞大运。

三、Hurwitz准则
上两法的折衷，取乐观系数入
［λ l ( , )＋（1－λ〕 l ( , )］
例如 λ=0.5时
λ : 2 0.5 3.5 1
（1－λ〕: 6.5 8 6 7
两者之和： 8.5 8.5 9.5 8
其中损失最小的是：行动

四、等概率准则(Laplace)
用 来评价行动 的优劣
选
上例： : 33 34 36 35 其中行动 的损失最小

五、后梅值极小化极大准则(svage-Niehans)
定义后梅值 =-
其中为自然状态为 时采取不同行动时的最小损失.
构成后梅值(机会成本)矩阵 S={} ,使后梅值极小化极大,即:

例:损失矩阵同上, 后梅值矩阵为:
3 1 0 2
3 0 8 1
1 4 0 2
0 3 2 4
各种行动的最大后梅值为: 3 4 8 4
其中行动a1 的最大后梅值最小,所以按后梅值极小化极大准则应采取行动1.

六、Krelle准则：
使损失是效用的负数(后果的效用化),再用等概率(Laplace)准则.

七、莫尔诺(Molnor)对理想决策准则的要求 (1954)
1.能把方案或行动排居完全序；
2.优劣次序与行动及状态的编号无关；
3.若行动 按状态优于，则应有 优于 ；
4.无关方案独立性：已经考虑过的若干行动的优劣不因增加新的行动而改变；
5.在损失矩阵的任一行中各元素加同一常数时，各行动间的优劣次序不变；
6.在损失矩阵中添加一行，这一行与原矩阵中的某行相同，则各行动的优劣次序不变。

§4.2 风险型决策问题的决策原则
一、最大可能值准则
令 π()=maxπ()
选 使 l(,)=l(,)
例：

π()

0.2
7
6.5
6

0.5
3
4
5

0.3
4
1
0
π() 概率最大, 各行动损失为 3 4 5
∴应选行动

二、贝叶斯原则
使期望损失极小：
{ l( , ) π() }
上例中,各行动的期望损失分别为 4.1 3.6 3.7, 对应于的期望损失3.6最小
∴应选.

三、贝努利原则
损失函数取后果效用的负值,再用Bayes原则求最优行动.

四、E—V(均值—方差)准则
若 ≤ 且 则优于
通常不存在这样的
上例中:

E 4.1 3.6 3.7
V() 2.29 3.79 5.967
不存在符合E—V准则的行动, 这时可采用f(μ,σ)的值来判断(μ为效益型后果的期望)
ì μ-ασ
f( μ，σ)=í μ-ασ
î μ-α(μ+σ)
f越大越优.

五、不完全信息情况下的决策原则(Hodges-Lehmann原则)
状态概率分布不可靠时, 可采用:
φ()=λ + i=1,2,… ,m j=1,2,…,n
φ越大越优.

§4.3贝叶斯定理
一、条件概率
1.A、B为随机试验E中的两个事件
P(A｜B)=P(AB)/P(B)
由全概率公式: j=1,2,…,n 是样本空间的一个划分,
P(B)=P(B|)P()
得Bayes公式
P(|B)=P(B|)·P()/P(B)
= P(B|)·P()/P(B|)P()
2. 对Θ,Χ两个随机变量
·条件概率密度
f(θ| x)=f(x |θ)f(θ)/f(x)
·在主观概率论中
π(θ| x)=f(x |θ)π(θ)/m(x)
其中：π(θ)是θ的先验概率密度函数
f(x｜θ)是θ出现时，x的条件概率密度,又称似然函数.
m(x)是x的边缘密度, 或称预测密度.
m(x)= f(x |θ)π(θ) dθ
或 p(x|)π()
π(θ｜x)是观察值为x的后验概率密度。
例：A 坛中白球30%黑球70%
B 坛中白球70%黑球30%
两坛外形相同，从中任取一坛，作放回摸球12次,其中白球4次，黑球8次，求所取为A坛的概率.
解：设观察值4白8黑事件为x，记取A坛为 , 取B坛为
在未作观察时，先验概率p()=p()=0.5
则在作观察后，后验概率
P(|x)=p(x|)p()p(x|)p()+p(x|)p()
=××0.5(××0.5+××0.5)
=(×)
=0.24010.2482
=0.967
显然, 通过试验、观察、可修正先验分布.

§4.4 贝叶斯分析的正规型与扩展型
一、正规型分析
由Baysean原则：先验分布为π(θ)时，最优的决策规则δ是贝叶斯规则,使贝叶斯风险
r(π, )= r(π,δ(x))
其中：r(π,δ(x))= R(θ,δ(x))
=[ l(θ,δ(x))
= l(θ,δ(x)) f(x |θ)dxπ(θ) dθ (1)
据(1)式，选使r(π，δ)达到极小，这就是正规型的贝叶斯分析。
在解实际问题时，求使(1)式极小的δ(x)往往十分困难，尤其在状态和观察值比较复杂时，Δ集中的策略数目很大，穷举所有的δ(x)有困难，且计算量颇大。实际上可用下法：

二、扩展型贝叶斯分析(Extensive Form Analysis)
在(1)式中因l(θ,δ)>-∞，f(x｜θ)，π(θ)均为有限值。
∴由Fubini定理，积分次序可换
即r(π,δ(x))= l(θ,δ(x)) f(x |θ)dxπ(θ) dθ
= l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθdx (2)
显然，要使(2)式达到极小，应当对每个x∈X，选择δ，
使 l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ （2’）为极小
∵δ(x)=a ∴若对给定的x,选a，使 l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ 为极小
亦即，
使 l(θ,a) f(x |θ)π(θ) dθ
=l(,a) π(|x) dθ 或 l(,a)p(|x) (3) 达极小，即可使(1)式为极小.
·结论：
对每个x，选择行动a，使之对给定x时θ的后验分布π(θ｜x)的期望损失为极小，即可求得贝叶斯规则。
这种方法叫贝叶斯分析的扩展型，由此确定的贝叶斯规则叫formal Bayesean Rule
——Raiffa Sehlaifer,1961年提出。
·Note
·使(3)式达极小的行动可能不只一个，即可能有多个贝叶斯规则；
·扩展型比正规型更直观，也容易计算，故更常用；
·许多分析人员只承认扩型，理由是：
i，π(θ｜x)描述了试验后的θ的分布，比π(θ)更客观，因此，只要损失函数是由效用理论导出的(即考虑了DMer的价值判断、风险偏好)，在评价行动a的优劣时就应当用后验期望损失。
ii, r(π，δ)是根据π(θ)求出的，而用先验分布π(θ)来确定行动a并不一定适当。
从根本上讲，这种观点是正确的。
·无论从何种观点来进行贝叶斯分析，从理论上讲，结果是一样的，所以采用何种方法可视具体问题，据计算方便而定。
·已经证明，形式贝叶斯分析对一类非随机性决策规则是成立的，也可以证明它对随机性决策规则同样成立。使所有x上后验期望损失极小的贝叶斯规则也是随机性规则集Δ*中的Bayes规则，因此，总可以找到一验期望损失极小的非随机性规则。

三、例(先看无观察问题)
农民选择作物问题，设某地旱年占60%，正常年景占40%; 种植耐旱作物
种不耐旱作物，后果矩阵为:

20 0
60 100

决策人的效用函数 u(y)=(1-)
解：i令：l(y)=1-u(y)

ii,作决策树：

iii, 在无观察时, R=l, r= l(,a)π()
r(π, )=l(,)π()+l(,)π()
=0.62 ×0.6+0.19 ×0.4
=0.448
r(π, )= l(,)π()+l(,)π()
=1.0 ×0.6+0 ×0.4
=0.6
风险r小者优, ∴δ=，是贝叶斯规则, 即贝叶斯行动.即应选择耐旱作物。

四、例(续上)
设气象预报的准确性是0.8，即p(|)=0.8 p(|)=0.8
其中，预报干旱
预报正常年景
则 m()=p(|)π()+p(|)π()
=0.8 ×0.6+0.2 ×0.4=0.56
m()=0.44
π(|)=p(|)π()m()
=0.8 ×0.6／0.56=0.86
π(|)=p(|)π()m()
=0.2 ×0.6／0.44=0.27
π(|)=0.14
π(|)=0.73
1. 正规型分析
①策略: = () =()
r(π, )=l (,())p(|)π()
4-7
= l (,)p(|)π()+l (,)p(|)π()
+ l (,)p(|)π()+l (,)p(|)π()
=0.62×0.8×0.6+1.0 ×0.2×0.6+0.19 ×0.2×0.4+0.0× 0.8×0.4
=0.4328
②策略: =() =()
r(π, )=l (, ())p(|)π()
= l (,)p)π()+l (,)p(|)π()
+ l (,)p(|)π()+l (,)p(|)π()
= 0.62×0.2×0.6+1.0×0.8×0.6+0.19×0.8× 0.4+0.0×0.8× 0.4
=0.6152
③策略: = () =()
r(π, )=0.45
④策略： =（） =（）
r(π, )=0.6
∵r(π, ) ＜r(π, ) ＜r(π, ) ＜r(π, )
∴ fff 是贝叶斯行动。

4－82.扩展型之一：据(2’) : lθ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ 记作r’
①给定(预报干旱):
采用 r‘=l (,)p(|)π()
= l (,)p(|)π() + l (,)p(|)π()
= 0.62×0.8×0.6+0.19 ×0.2×0.4
=0.3128
采用 r’= l (,)p(|)π() + l (,)p(|)π()
=0.48
∵风险小者优 ∴给定应选
②给定(预报天气正常)
采用 r’= l (,)p(|)π() + l (,)p(|)π()
=0.62×0.2×0.6 + 0.19× 0.8× 0.4
=0.135
采用 r’= l (,)p(|)π() + l (,)p(|)π()
=1.0×0.2×0.6 + 0
=0.12
∴给定应选
由此得形式Bayes规则 : = () =()
3.扩展型之二：据(3)式 即l(,a) π(|x) dθ 或 l(,a)π(|x)(记作r”)
①给定,
采用 r”= l(,)π(|)
= l()π(|) + l(,)π(|)
=0.62 ×0.86 + 0.19 ×0.14
=0.56
采用 r”= l(,)π(|) + l(,)π(|)
= 1.0 ×0.86 + 0× 0.14
=0.86
∴给定，应选行动.
②给定
采用 r”= l(,)π(|)
= l(,)π(|) + l(,)π(|)
=0.62 ×0.27 + 0.19 ×0.73 = 0.3061
采用 r”= l(,)π(|)
= l(,)π(|) + l(,)π(|)
=1.0 ×0.27 + 0 ×0.73 =0.27
∴给定 应选择行动.
∴形式Bayes规则: = () =()

§4.5 非正常先验与广义贝叶斯规则
一、非正常先验(Improper Prior)
概率测度的三个条件：
i,规范性：P(Ω)=1
ii,非负性：0≤P(A)≤1
iii,可列可加性
在设定先验分布时，若不满足规范性，则称为非正常先验.

二、广义贝叶斯规则(General Bayesean Rule)
1.定义：
决策问题的损失函数为l(θ,a)，π(θ)为非正常先验分布，对给定的，使
i, l(θ,δ(x)) f(x |θ)π(θ) dθ 为极小，或者
ii, 0＜m(x)＜－∞时,使 l(,a) π(|x) dθ 为极小的策略(行动)，构成广义贝叶斯规则.
2.Nole：①在许多重要场合，所有允许的都是GBR
②在无法得到正常先验时，除此别无良策；
③GBR不一定是最好的决策规则

§4.6 一种具有部分先验信息的贝叶斯分析法
一、概述
1.思路：在部分先验信息难以唯一地确定π(θ)时，抛开唯一性要求，转而确定与已知先验
信息相符的先验分布的集。
2.符号
i, Θ 和A为有限集：Θ={,,…,}
A={,,…,}
损失矩阵L={} =l (,)
ii,根据贝叶斯分析的扩展型
给定x，应从集合A中选一行动 ，使
q(a)= l (,a) p(|)π() 为极小,亦即
= arg q(a) 或 q()≤q() j=1,2,…,m (4)
则 为贝叶斯行动.
记p(|)为(x) , π() 为
L=[,,…,] π={,,…,}
则 l (,a) p(|)π()=L[diag{(x) }π]
(4)式可表示成 L[diag{(x)}π]≤L[diag{(x) }π] i=1,2, …,n (5)
j=1,2, …,m
(5)式即 [ (L-1 L) diag{(x) }] π ≥0 (5’)
记 (L-1 L) diag{(x) } 为D(x), 式(5’)可表示为:
D(x) π ≥0 (5”)
3. (5”)式的含义
(1)给定x，先验分布为π时，应选 使5(即5’, 亦即5”)式成立。
(2) 对给定的x，要使 成为贝叶斯行动,π应满足 5(即5’, 亦即5”)式.
由(2)可以定义
(x)={ π∈Π| D(x) π ≥0 ;, ≥0 }
式中, Π是先验分布的所有可能的集,
(x) 是Π的一个子集，它能i,使 对给定x为Bayes行动
ii,满足规范性和非负性

二、分析步骤
1. 确定(x)
2. 确定先验信息对先验分布π(θ)的约束：
Q={ π∈Π| Aπ≥0, , ≥0}
式中, Aπ≥0是先验信息对先验分布π(θ)的约束.
3.结论：
当 (x) 与Q有非空交集时，为Bayes行动.

三、例
已知：i, Q={ π∈Π| ≥0.5, ≥, ≥, }
ii,由已往的统计资料，三种病患者的白血球计数：
f(x| )= N( 3000, 1000 )
f(x| )= N( 3000, 1000 )
f(x| )= N( 3000, 1000 )
iii,观察：x=5000
要求判定：患者得什么病
解：p(x|)= p(5000|)
= edx 令x=
= edx
=0.9798 - 0.9744 = 0.0054
同理可得:
p(x| )=0.0091
p(x| )=0.0000105
∵L= , 1 = , ∴L-1 = ,
diag{(x)}= D=
D(5000)· π≥0 即≥
∴(5000)= { π∈Π| -1.69 ≥0, -0.00315≥0, }
同理可得(5000)和 (5000)
三、几何意义
1. 由

2.Q: 由先验信息确定红框内为Q

3.从 D(x) π ≥0 得,, .
4- 12