浅谈万有引力的学习.doc

浅谈万有引力的学习
江苏省盱眙县马坝中学高中部（211751） 周 峰
一、掌握处理问题的两个思路
1、把天体的运动看作匀速圆周运动，所需的向心力由万有引力来提供，即GMm/r2=mv2/r。（建立两体模型）
2、对天体表面上的物体而言重力与万有引力近似相等，即GMm/R2=mg，GM=gR2（黄金代换）。
二、正确区分几个概念（以地球、卫星模型为例）
1、引力半径与曲率半径
关系式GMm/r2=mv2/r中的两个r具有不同的含义，卫星绕地球运行时，前者是卫星所在处与地心的距离，称引力半径；后者是卫星所在处轨道的曲率半径。对圆形轨道而言，两者相等；而对椭圆轨道而言两者一般并不相等，应严格区分。
2、发射速度与运行速度
近地卫星的环绕速度v=√GM/R =√gR =7.9km/s，称为第一宇宙速度，是人造卫星的最小发射速度，也是最大环绕运行速度。
不同高度处的人造卫星在圆轨道上运行速度v=√GM/r ，随轨道半径的增大而减小。但是由于地球卫星从发射到进入轨道运行的过程中要克服地球对它的引力做功，重力势能增大，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度越大。
3、自转向心力与公转向心力
随地球一起自转的物体，所需的向心力由万有引力的一个分力来提供，另一个分力是重力，对于的1kg物体而言，所受的重力约为9.8N，而向心力大约只有0.034N，因而一般情况下近似认为万有引力与重力相等。（重力与万有引力的确切关系，此处不再说明）
绕地球公转的物体，所需的向心力完全由万有引力来提供。
三、题型举隅
1、变轨问题
例1、（2000年全国）某人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2，r2＜r1，以Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（ ）
A、Ek1＞Ek2，T2＜T1 B、Ek1＞Ek2，T2＞T1
C、Ek1＜Ek2，T2＜T1 D、Ek1＜Ek2，T2＞T1
解析：万有引力提供向心力：GMm/r2=mv2/r，得Ek=（1/2）mv2=GMm/（2r），动能增大（在任一瞬间，卫星都可近似地看作在某圆形轨道上运动，说明卫星受到的空气阻力比地球对它的万有引力小得多，引力做功大于克服阻力做功，因而动能增大）。
结合T=2πr/v，可判断T变小。正确选项为C。
2、临界问题
例2、（2001年上海）组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率。如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动。由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T。下列表达式中正确的是（ ）
A、T=2π√R3/GM B、T=2π√3R3/GM
C、T=√π/Gρ D、T=√3π/Gρ
解析：对星球表面赤道附近的物体，刚好达到最大自转速率时，万有引力提供向心力GMm/R2=m（2π/T）2/r，T=2π√R3/GM ；
又M=（4/3）πR3ρ代入上式得T=√3π/Gρ，选项A、D正确。
3、双星问题
例3、（2001年北京春招）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。
解析：双星做圆周运动的向心力由相互作用的引力提供，设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O点的距离分别为l1和l2，有l1+ l2=R。
对M1：GM1M2/R2=M1（2π/T）2l1，M2=4π2R2l1/（GT2）
对M2：GM1M2/R2=M2（2π/T）2l2，M1=4π2R2l2/（GT2）
两星的总质量：M1 +M2=4π2R2（l1+ l2）/（GT2）=4π2R3/（GT2）
4、同步卫星
例4、（2003年北京春招）在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ）
A、它们的质量可能不同 B、它们的速度可能不同
C、它们的向心加速度可能不同 D、它们离地心的距离可能不同
解析：所有同步卫星都在同一轨道上，都在赤道的正上方，离地心的距离都相等，都具有相同的线速度和相同的向心加速度（指大小），正确选项为A。
5、估算类问题
例5、（2000年北京春招）地核的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，经估算，地核的平均密度为 kg/m3。（结果取两位有效数字）（R地=6.4×106m G=6.7×10-11N·m2/kg2 g=10m/s2）
解析：对地球表面物体：GMm/R2=mg，得M=g R2/G
将地球视为球体，体积V=（4/3）πR3
地球平均密度ρ=M/V=3g/（4πRg）
地核的密度ρ=0.34M/(0.16V)
=0.34×3×10/(0.16×4×3.14×6.4×106×6.7×10-11)=1.2×104kg/m3
6、综合类问题
例6、（2001年广东）无人飞船“神州二号”曾在离地面高度为H=3.4×105m的圆轨道上运行了47小时。求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R=6.37×106m，重力加速度g=9.8m/s2）
解析：用M表示地球的质量，m表示飞船的质量，ω表示飞船绕地球运行的角速度，T表示周期，G表示引力常数，在这段时间t内飞船绕行地球n圈。
由万有引力提供向心力有GMm/（R+H）2=mω2（R+H）
对地球表面物体有GMm/R2=mg，GM=gR2
又T=2π/ω，n=t/T
以上各式联列，并代入数据得n=31
太阳
地球
月球
满月
满月
M1
M2
E1
M1’
E2
S
θ
29.5天
θ
例7、（1999年全国保送）若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种公转同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天（图示是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图）。求：月球绕地球转一周所用的时间T（因月球总是一面朝向地球，故T恰是月球自转周期提示：可借鉴恒星日、太阳日的解释方法）
解法一：用物理角速度、线速度原理解答。
地球绕太阳公转每天的角速度ω=2π/365
（取回归年365天）。从上次满月到下次满月地
球公转了θ角，用了29.5天。
所以θ=ω·29.5=（2π/365）×29.5
月球在两次满月之间转过（2π+θ），用了
29.5天，所以月球每天的角速度
ω’=（2π+θ）/29.5
2π
（2π+θ）/29.5
根据周期公式T=2π/ω’得：
T= =（2π×29.5）/（2π+θ）
2π×29.5
（2π+2π×29.5/365θ）
因为θ=（2π/365）×29.5，
所以T= =27.3（天）
解法二：用地理原理解答，根据恒星日、太阳日进行知识迁移。
月球在M1位置时是满月，下一次满月在M2位置，相隔29.5天，这过程中，地球转过θ角，月球转过（2π+θ）角，花了29.5天。月球真正自转一周（2π）相对地球是M1’方向上，如图所示，花了多少天？
用正比的方法计算：
月球公转时：（3600+θ）/29.5（天）=3600/T(天)
地球公转时：θ/29.5（天）= 3600/365（天）
联列两式消去解得：T=27.3（天）