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功能问题中的等效思维
朱华松 邰震山
1. 等效研究对象
例1. 如图1（a）所示，半径为R的定滑轮不计质量，不计轮轴的摩擦，滑轮上挂一条长为L的铁链（L>10R），两边垂下相等的长度，由于轻微的干扰，使滑轮转动，且铁链与滑轮无相对滑动，当滑轮转过90°时，其角速度多大？
图1
分析：滑轮转动而带动铁链，滑轮边缘的线速度等于铁链移动的瞬时速度。对于铁链，只有重力做功，符合机械能守恒定律。此过程中铁链随滑轮转过的长度：
如图1（b）所示，整条铁链的动能可看作是由原部分移至位置，其重力势能的减少转变而来的，而之外的
2、其余部分可认为对整条铁链动能的变化无贡献。
设单位长度铁链的质量为m，则对铁链，根据机械能守恒定律有：
得铁链的速度
因
故滑轮在此时刻的角速度
以上解法不仅巧用等效研究对象，而且运用机械能守恒定律的另一种表达式，避开了参考平面的选择，简化了解题过程。
2. 等效物理过程
例1. 一质量为m的小球，从高为h处由静止释放，落地后弹回，因与地面碰撞有机械能损失，小球每次回跳的高度总等于其下落高度的，试问，若要使小球第一次回跳时跳到原高度，则当小球开始下落时应对它做多少功？（不计空气阻力）
分析：根据小球从h高处下落，回跳到高处，易得出小球与地面碰撞时损失的机械能。要
3、使小球回跳到h高处，有同学误认为对它做的功应等于上述损失的机械能。而实际情况是，由于对小球做了功，使小球落地时的速度增大，小球与地面碰撞时损失的机械能也随之增大，故小球不能回跳到h高处。
正确的解法是：
将小球开始下落时对它做功等效为小球从高处由静止释放，且小球落地后回跳的高度恰为。根据题意，有：
此过程中损失的机械能
由功能关系，开始对小球必须做功
由以上各式得：
3. 等效研究对象和等效物理过程
例3. 面积很大的水池，池深为H，上面浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的，质量为m。开始时木块静止，有一半没入水中，如图2（a）所示，现用力F将木块缓慢地压到
4、池底，不计摩擦，求：
图2
（1）从木块刚好完全没入水中到停止在池底的过程中，池水势能的改变量；
（2）从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F所做的功。
分析：（1）从木块刚好完全没入水中到停止在池底的过程，可看作是在池底与木块等体积的“水块”与刚没入水中的木块交换了位置。因此，池水势能的改变量就等于这部分水重力势能的增加量，即
（2）木块被缓慢下压入水的过程中，木块所受的浮力为变力，因而力F也为变力。为避开变力做功的直接计算，研究木块和整个池水系统，由于木块所受的浮力及其反作用力为内力，且这一对内力的总功为零，因此木块和池水系统机械能的增量就等于推力F所做的功。因为池水面
5、积很大，不计水面升高，故池水重力势能的增量可由图2（c）中阴影部分的水全部移至水面来求得。于是由功能关系可得：
其中
代入上式得：
本题也可以用平均力对木块做功来求解：
当木块没入水中的深度为x时，有
显然推力F与木块没入水中的深度x为线性关系，因此，全过程中推力对木块做功：
因为
又
联立解得：
例4. 喷水机喷出的竖直向上的水柱高度，空中有水，空气阻力不计，则喷水机的功率约为多少？（g取，水的密度）
分析：喷水机对水做功，使水以某一速度喷出，形成水柱。喷水机对水做功仅在水喷出之前，其后只有重力做功。忽略一切阻力影响，水的上升过程可看作竖直上抛运动，下落过程可看作自由落体运动，因此，形成稳定水柱的时间：
每2s时间内喷水机连续喷出的水的体积与空中水柱体积相等。因此，喷水机在2s内对水做功等效于喷水机的动力把水柱中所有的水都经历了举至最高点这一过程，因而喷水机的功率：
本题还可由动能定理来求解：
设喷水机的功率为P，经时间△t，喷出水的质量为，水的出口速度。
由动能定理：，得：
其中为单位时间内喷出的水量，显然有：
其中m为空中水柱的总质量，t为形成稳定水柱的时间。因此喷水机的功率：
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