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八年级数学竞赛讲座 相似形（1）
一、知识要点：
1、比例的性质；2、平行线分线段成比例的定理及逆定理；
二、典型例题：
A
M
B E F C
1、△ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分BM为x、y、z三部分(x>y>z)，求x:y:z；
2、△ABC的周长为1998cm，一只小松鼠位于AB边上（点A、B除外）的点P处，它首先由点P沿平行于BC的方向跑到AC边上的点
2、后，立即改变方向，再沿着平行于AB的方向奔跑，当跑到BC边上的点后，又立即改变方向，沿平行于CA边的方向奔跑，当跑到AB边上的点后，又立即改变方向，沿平等于BC的方向奔跑，此后，按上述规律一直跑下去。问小松鼠能否再返回到点P？如果能再回到点P，那么至少要跑多少路程？
3、如图：在直角△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于F，且分别交对边于D、E，
C
D F
A E B
求：；
A
E M
B D C
N F
4、如图：在△ABC中，AB=AC，
3、AD是高，E是AB上一点，CF⊥BC交ED的延长线于F，M、N分别是DE、DF的中点，求证：∠MAD=∠NAD
5、△ABC中，AD是角平分线，且∠BAC=120°，求证：
6、如图：△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，DM、DN分别是∠CDB和∠CDA的角平分线，MN交CD于O，EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P，
C
F E
N O M
A D B
Q H P
求证：PQ=CD；
4、
A
F E
B D C
7、如图：△ABC中，AD与CF交于E，D在BC上，F在AB上，且AE·BF=2AF·DE，试判断AD是△ABC的中线、高或角平分线，并说明理由。
8、若，记，证明：f是一个整数；
A
E D
F O
B C
9、如图：△ABC中，D、E为AC、AB上的点，BD、CE相交于O，取AB的中点F，连结OF，若，AE，求证：OF∥BC
10、如图：在梯形ABCD中，N、P和Q、M分别是底AD、BC上的
5、点，有CP∥AM，BN∥DQ，AM、BN相交于E，CP、DQ相交于F，过E、F分别作AD的平行线交CD、AB于G、H，求证：EG=FH
A
F
E
B C D
11、在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，则D、E、F三点共线的充要条件是
12、如图：四边形ABCD既不是平行四边形又不是梯形，O是对角线AC、BD的交点，OP∥AD交CB的延长线盱P，OQ∥CD交BA的延长线于Q，OR∥BC交DA的延长线于R，OS∥AB交CD的延长线于S，求证：P、Q、R、S四点共线；
6、
作业题：
1、已知，则求？
2、如图：P是△ABC内的一点，等长的三条线段DE、FG、HI分别平行于AB、BC和CA，并且都过P点，已知AB=12，BC=8，CA=6，求AI：IF：FB的值；
3、如图：在四边形ABCD中，AC与BD相交于O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别交于M、N、R、S及P，求证：PM·PN=PR·PS；
4、在△ABC中，AB＞AC，过BC的中点D作直线垂直于∠A的平分线，交AB于E，交AC的延长线于F，求证：BE=CF=（AB－AC）；
7、
5、如图：△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，∠B的平分线分别与AD、AC交于E、F，H为EF的中点，
（1）求证：AH⊥EF；
B
D
E H
A F C
（2）设△AHF，△BDE，△BAF的周长分别为，证明：，并求出当等号成立时的值；
A
D O E
B C
6、如图，在等腰△ABC，已知AB=AC=k·BC，这里k是大于1的自然数，点D、E依次在AB、AC上，且DB=BC=CE，CD与BE相交于O，求使 为有理数的最小自然数k；
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