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高考数学140分必读之把关题解析30讲（1）
1．重庆一模
21．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。
21．（12分）
解：（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得
………………………………………………（1分）
由题意知
2、椭圆、双曲线的焦点为…………………（2分）
对于椭圆，
………………………………（4分）
对于双曲线，
………………………………（6分）
（Ⅱ）设的中点为，的方程为：，以为直径的圆交于两点，中点为
令………………………………………………（7分）
…………（12分）
22．（14分）已知正项数列中，，点在抛物线上；数列中，点在过点，以方向向量为的直线上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，问是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对任意正整数，不等式成立，求正数的取值范围。
22．（14分）
解：（Ⅰ）将点代入中得
………………………………
3、…………（4分）
（Ⅱ）………………………………（5分）
……………………（8分）
（Ⅲ）由
………………………………（14分）
2．南京三模
21.（本小题满分12分）将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C.
(1) 求C的方程;
(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,
延长线段ON交C于点E.
求证: 的充要条件是.
21．（本小题满分12分）
解: (1)设点, 点M的坐标为,由题意可知………………(2分)
又∴.
所以, 点M的轨迹C的方程为.………………(4分)
(2)设点,
4、 , 点N的坐标为,
㈠当直线l与x轴重合时, 线段AB的中点N就是原点O, 不合题意,舍去; ………………(5分)
㈡设直线l:
由消去x,
得………………①
∴………………(6分)
∴,
∴点N的坐标为.………………(8分)
①若, 坐标为, 则点E的为, 由点E在曲线C上,
得, 即 ∴舍去).
由方程①得
又
∴.………………(10分)
②若, 由①得∴
∴点N的坐标为, 射线ON方程为: ,
由 解得 ∴点E的坐标为
∴.
综上, 的充要条件是.………………(12分)
22.（本小题满分14分）已知函数.
(1) 试证函数的图象关于
5、点对称;
(2) 若数列的通项公式为, 求数列的前m项和
(3) 设数列满足: , . 设.
若(2)中的满足对任意不小于2的正整数n, 恒成立, 试求m的最大值.
22．（本小题满分14分）
解: (1)设点是函数的图象上任意一点, 其关于点的对称点为.
由 得
所以, 点P的坐标为P.………………(2分)
由点在函数的图象上, 得.
∵
∴点P在函数的图象上.
∴函数的图象关于点对称. ………………(4分)
(2)由(1)可知, , 所以,
即………………(6分)
由, ……………… ①
得 ………………②
由①＋②, 得
∴………………(8分
6、)
(3) ∵, ………………③
∴对任意的. ………………④
由③、④, 得即.
∴.……………(10分)
∵∴数列是单调递增数列.
∴关于n递增. 当, 且时, .
∵
∴………………(12分)
∴即∴ ∴m的最大值为6. ……………(14分)
3．重庆预测
21．（12分）、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点。
（1） 当时，求的面积；
（2） 当时，求的大小；
（3） 求的最大值。
21．（1）
（2）因，
则
（1） 设
，
当时，
22．（14分）已知数列中，，当时，其前项和满足，
（2） 求的表达式及的值
7、
（3） 求数列的通项公式；
（4） 设，求证：当且时，。
22．（1）
所以是等差数列。则。
。
（2）当时，，
综上，。
（3）令，当时，有 （1）
法1：等价于求证。
当时，令
，
则在递增。
又，
所以即。
法（2）
（2）
（3）
因
所以
由（1）（3）（4）知。
法3：令，则
所以
因则
所以 （5）
由（1）（2）（5）知
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