河北省保定市2012-2013学年第一学期高三期末联考数学试题(理科).doc

河北省保定市2012-2013学年第一学期高三期末联考
数学试题（理科）
（满分150分，考试时间：120分钟）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，注意事项：
1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效。
2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。
3．考试结束，只交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、 选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，集合，则（　　）
A B. C. D.
2．若是真命题，是假命题，则（　　）
A．是真命题 B．是假命题 C．是真命题 D．是真命题
3．的展开式中的系数是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
4在中，D为BC中点，若，，则的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
5．某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的的值是(　 　)
A. 5 B.6 C.7 D. 8

开始
k = 0

S = 100

S > 0 ?
k＝k＋1
S = S－2k
是
输出k
结束
否

6.数列满足，，，
则的大小关系为（ ）
（A） （B） （C） （D）大小关系不确定
7下列命题中，错误的是( )
（A） 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
（B）平行于同一平面的两个不同平面平行
（C）若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线
（D） 如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面
8设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是 ( )
(A) (B) (C) (D)
9设集合 ，，若，则实数的值为(C)
(A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或或
10．已知变量满足约束条件的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．8
11.函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 （ ）
①； ②；
③； ④
（A）①②③④ （B）①②④ （C）①③④ （D）①③
12．已知圆O的半径为2，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，设那么的最小值为（ ）
A． B． C． D．

第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）
13.如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积
是 .
14．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a＝ 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。

15. 已知函数，若，且，则的取值范围是 .
16．已知是椭圆 的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. (本题满分10分)
设的内角所对的边长分别为，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值，并判断当取最大值时的形状．

18．(本题满分12分)
如图，已知矩形的边与正方形所在平面垂直，，，是线段的中点。
(1)求证：平面；

(2)求二面角的大小。

19. （本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.
　 （1）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数的关系式为：
，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望．

20(本题满分12分)
.已知椭圆的右顶点为，上顶点为，直线与椭圆交于不同的两点，若是以为直径的圆上的点，当变化时，点的纵坐标的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，是否存在，使得向量与共线？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．

21．(本题满分12分)
设数列的各项都为正数，其前项和为，已知对任意，
是 和的等比中项．
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设集合，且，若存在∈，使对满足 的一切正整数，不等式恒成立，试问：这样的正整数共有多少个？

22．(本题满分12分)
已知，其中是自然常数，
（Ⅰ）当时, 研究的单调性与极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ；
（Ⅲ）是否存在实数，使的最小值是3？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

高三数学试卷答案
一、选择题
ADCDC CCACD DD

二、填空题
13．14。答案：0.030 3；15。(-1,1)；16。

17.解：（1）由可得

=3 ………………………………………………4分
（2）设，则且
………………………………………………10分
此时，故，△ABC为直角三角形………………12分
18 :（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则
……………… 2分
设平面的一个法向量为，则
取，得平面的一个法向量为，…………………………………………………………………………6分
，
所以，又因为直线不在平面内，所以平面。
……………………………………………6分
（2）由（1）知平面的一个法向量为，而平面的一个法向量为，
……………………………………………………………… 11分
所以向量与向量的夹角，从图中可以看出二面角为锐二面角，所以所求二面角的大小是。 …………… 12分

19. 解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件---------------------------------------------------------------------------------3分
∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为，------4分
二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为；------------5分
三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为．-------------6分
(2)∵的可能取值为：1,2,4

1
2
4

0.5
0.3
0.2
用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）可得,,-----------8分
∴可得的分布列如右：-------------------------------------------10分
其数学期望(元)---------12分
20.解：（1）由，
，圆心为以EF为直径的圆的方程为：
（当时取等）令则
依题
椭圆C的方程为： ………………………………………………………………6分
（2），由消去y:
设,PQ的中点M
由点差法：……………………………………8分
即① M在直线上 ②
又，而与共线，可得//
③, 由①②③得， 这与矛盾，故不存在 …………12分
21．解：（Ⅰ）由已知，，且． …………………………………1分
当时，，解得． …………………………………2分
当时，有．
于是，即．
于是，即．
因为，所以．
故数列是首项为2，公差为2的等差数列，且．……………………4分
（Ⅱ）因为，则， …………………………5分
所以．……7分
因为随着的增大而增大，所以当时取最小值．
故原不等式成立． ………………10分
（Ⅲ）由，得，所以． … 12分
由题设，，，…，，，，…，．
因为∈M，所以，，…，均满足条件．………………14分且这些数组成首项为，公差为的等差数列．
设这个等差数列共有项，则，解得．
故集合M中满足条件的正整数共有450个． …………………16分

22．解：（Ⅰ）， …………………………………………1分
∴当时，，此时单调递减
当时，，此时单调递增 …………………………………… …………3分
∴的极小值为
（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，
∴ ，……5分
令，， ………………………………………………6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时，，在上单调递增∴ ………9分
∴在（1）的条件下，……………………………10分
（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，

① 当时，，所以， 所以在上单调递减，
，（舍去），
所以，此时无最小值. ……12分
②当时，在上单调递减，在上单调递增
，，满足条件. ……14分
③ 当时，，所以，
所以在上单调递减，，（舍去），
所以，此时无最小值. ……15分
综上，存在实数，使得当时有最小值3 .……16分